Формула для вычисления дисперсии
Вычисление дисперсии, безразлично – генеральной или выборочной, можно упростить посредством использования формулы:
то есть, дисперсия равна среднему квадратов значений признака минус квадрат общей средней.
Пример:
Найти дисперсию по данному распределению:
xi |
1 |
2 |
3 |
4 |
ni |
20 |
15 |
10 |
5 |
Решение:
Найдем общую среднюю:
= (20*1+15*2+10*3+5*4)/(20+15+10+5)=100/50=2.
Найдем среднюю квадратов значений признака:
=(20*12+15*22+10*32+5*42)/50=5.
Искомая дисперсия:
=5-22=1.
Групповая, внутригрупповая, межгрупповая и общая дисперсия
Если все значения количественного признака X совокупности, безразлично – генеральной или выборочной, разбиты на k групп, то рассматривая каждую группу как самостоятельную совокупность, можно найти групповую среднюю и дисперсию значений признака, принадлежащих группе, относительно групповой средней.
Групповой дисперсией называют дисперсию значений признака, принадлежащих группе, относительно групповой средней:
где: ni – частота значения xi;
j – номер группы;
-
групповая средняя группы j;
-
объем группы j.
Пример:
Найти групповые дисперсии совокупности, состоящей из следующих двух групп:
|
Группа 1 |
Группа 2 |
|||
Значение признака (xi) |
2 |
4 |
5 |
3 |
8 |
Частота (ni) |
1 |
7 |
2 |
2 |
3 |
Объем (∑ni) |
N1=10 |
N2=5 |
|||
Решение:
Найдем групповые средние:
=
(1*2+7*4+2*5)/10 =4;
=
(2*3+3*8)/5 =6.
Найдем искомые групповые дисперсии:
=
(1*(2-4)2+7*(4-4)2+2*(5-4)2)/10
= 0,6;
= (2*(3-6)2+3*(8-6)2)/5
= 6.
Зная дисперсию каждой группы, можно найти их среднюю арифметическую.
Внутригрупповой дисперсией называют среднюю арифметическую дисперсий, взвешенную по объемам групп:
где: Nj – объем группы j;
-
объем всей совокупности.
Пример:
Найти внутригрупповую дисперсию по следующим исходным данным:
|
Группа 1 |
Группа 2 |
|||
Значение признака (xi) |
2 |
4 |
5 |
3 |
8 |
Частота (ni) |
1 |
7 |
2 |
2 |
3 |
Объем (∑ni) |
N1=10 |
N2=5 |
|||
Решение:
Искомая внутригрупповая дисперсия равна:
=
(10*0,6+5*6)/15=12/5.
Зная групповые средние и общую среднюю, можно найти дисперсию групповых средних относительно общей средней.
Межгрупповой дисперсией называют дисперсию групповых средних относительно общей средней:
где: - групповая средняя группы j;
Nj – объем группы j;
-
общая средняя;
- объем всей совокупности.
Пример:
Найти межгрупповую среднюю по данным предыдущего примера.
|
Группа 1 |
Группа 2 |
|||
Значение признака (xi) |
2 |
4 |
5 |
3 |
8 |
Частота (ni) |
1 |
7 |
2 |
2 |
3 |
Объем (∑ni) |
N1=10 |
N2=5 |
|||
Решение:
Найдем общую среднюю:
= (1*2+7*4+2*5+2*3+3*8)/15 =
14/3.
Используя вычисленные выше величины = 4, = 6, найдем искомую межгрупповую дисперсию:
=
(10*(4-14/3)2
+5*(6-14/3)2)
/15 = 8/9.
Для всей совокупности выделяют общую дисперсию.
Общей дисперсией называют дисперсию значений признака всей совокупности относительно общей средней:
где: ni – частота значения xi;
- общая средняя;
n – объем всей совокупности.
Пример:
Найти общую дисперсию по данным предыдущей задачи, то есть:
|
Группа 1 |
Группа 2 |
|||
Значение признака (xi) |
2 |
4 |
5 |
3 |
8 |
Частота (ni) |
1 |
7 |
2 |
2 |
3 |
Объем (∑ni) |
N1=10 |
N2=5 |
|||
Решение:
Найдем искомую общую дисперсию, учитывая, что общая средняя равна 14/3.
Dобщ = (1*(2-14/3)2+7*(4-14/3)2+2*(5-14/3)2)/15+(2*(3-14/3)2+3*(8-14/3)2)/15 = 148/45.
Найденная общая дисперсия равна сумме групповой и межгрупповой дисперсий:
Dобщ = 148/45;
Dвнгр + Dмежгр = 12/5 + 8/9 = 148/45.
Эта закономерность справедлива для любой совокупности.