2.2. Наращение денежных потоков

Основная формула теории процентов определяет будущую стои-мость денег:

S_n = P × (1 + i) ⁿ,

(2.1)

34

где S_n - будущее значение стоимости денег; P - настоящее значение вло­женной суммы денег; n - количество периодов времени, на которое про­изводится вложение; i - норма доходности (прибыльности) от вложения.

Простейшим способом эту формулу можно проинтерпретировать, как определение величины депозитного вклада в банк при депозитной ставке (i) (в долях единицы).

Существо процесса наращения денег не изменяется, если деньги ин­вестируются в какой-либо бизнес (предприятие). Главное, чтобы вложе­ние денег обеспечивало доход, то есть увеличение вложенной суммы. ПРИМЕР. Банк выплачивает 5 процентов годовых по депозитному вкладу. Согласно формуле (2.1) 100 долларов, вложенные сейчас, через год ста­нут:

S1 = 100 × (1 + 0,05) = 105 долларов.

Если вкладчик решает оставить всю сумму на депозите еще на один год, то к концу второго года объем его вклада составит:

S2 = S1 × (1 + i ) = 105 × (1 + 0,05) = 110,25 долларов,

или по формуле (2.1)

S ₂ = P × (1 + i)² = 100 × (1 + 0,05)² = 110,25 долларов.

Существует несколько правил, позволяющих быстро рассчитать срок удвоения первоначальной суммы для конкретной процентной ставки. Правило «72»:

72

t = . (2.2)

i(%)

Правило «69» (более точное):

t = i + 0,35. (2.3)

(%)

Здесь, однако, следует иметь в виду, что при выводе этих правил ис­пользуются математические формулы, дающие верный результат не для любых значений входящих в них величин. Например, выражение l/х < х (х > 0) неверно при х< 1.

Денежный поток принято изображать на временной линии в одном из двух способов:

35 А. $1,500

$1,000		$1,000			$1,000
0 6%	1		2	3			4
-$2,000

В.

0 1 2 34

$1,000 $1,000 $1,500 $1,000

-$2,000

Представленный на рисунке денежный поток состоит в следующем: в настоящее время выплачивается (знак «минус») 2,000 долларов, в пер­вый и второй годы получено 1,000, в третий - 1,500, в четвертый - снова 1,000 долларов.

Элемент денежного потока принято обозначать CF_k (от Cash Flow), где k - номер периода, в который рассматривается денежный поток. На­стоящее значение денежного потока обозначено PV (Present Value), а бу­дущее значение - FV (Future Value).

Для всех элементов денежного потока от 0 до n получим будущее значение денежного потока:

FV = CF₀ × (1 + i) ⁿ + CF1 × (1 + i ) ^{n -1} +

n

+ … + CF_n × (1 + i)ⁿ-ⁿ = ∑CF_k ×(1 + i)n-k. (².⁴)

k-0

ПРИМЕР. После внедрения мероприятия по снижению административных издержек предприятие планирует получить экономию 1,000 долларов в год. Сэкономленные деньги предполагается размещать на депозитный счет (под 5 % годовых) с тем, чтобы через 5 лет накопленные деньги ис­пользовать для инвестирования. Какая сумма окажется на банковском счете предприятия?

Решим задачу с использованием временной линии.

36

0

10%

1

2

3

4

5

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

*■ *■

*■

1,050 1,102

1,158

1,216 5,526

Таким образом, через 5 лет предприятие накопит 5,526 долларов, ко-торые сможет инвестировать.

В данном случае денежный поток состоит из одинаковых денежных сумм ежегодно. Такой поток называется аннуитетом.

Для вычисления будущего значения аннуитета используется форму-ла:

FV = CF∑(1 + r)

k-1

n-k

(2.5)

при CF_k = const и CF₀ = 0.

Расчет будущего значения аннуитета может производиться с помо-щью специальных финансовых таблиц.