4.3.2. Средняя геометрическая и средняя квадратическая

Средняя геометрическая является частным случаем степенной средней при К = 0. Эта средняя может быть простой и взвешенной. Средняя геометрическая простая определяется по формуле:

. (4.4)

Средняя геометрическая взвешенная определяется по формуле

. (4.5)

где — значения признака;

– частота, соответствующая .

В экономической статистике средняя геометрическая применяется при определении средних коэффициентов и темпов роста в рядах динамики.

Средняя квадратическая является частным случаем степенной средней при К = 2. Эта средняя может быть простой и взвешенной.

Средняя квадратическая простая определяется по формуле

. (4.6)

Средняя квадратическая взвешенная определяется по формуле

(4.7)

Средняя квадратическая используется при оценке уровня вариации анализируемых экономических показателей.

4.4. Структурные средние

Для расчета степенных средних необходимо располагать информацией не только о значениях признака, но и о величине их весов. При экономическом анализе такая полная информация не всегда доступна. В этом случае предпочтение отдается структурным средним.

Структурные средние позволяют охарактеризовать структуру статистических рядов распределения. К таким показателям относятся мода и медиана.

Модой называется варианта (значение признака), которая наиболее часто встречается в анализируемой совокупности. Наличие двух и более модальных значений может означать неоднородность статистической совокупности.

В дискретном ряду распределения мода ( ) — это варианта с максимальной частотой. Например, в табл. 4.5 наибольшей частотой является 88. Этой частоте соответствует модальное значение признака — 37. То есть, наибольшим спросом у покупателей пользуется обувь 37 размера.

Таблица 4.5 – Дискретный ряд распределения

Размер обуви	Число купленных пар	Накопленная частота
34	2	2
35	10	12
36	20	32
37	88	120
38	19	139
39	9	148
40	1	149
Итого	149	х

В интервальном ряду распределения с равными интервалами мода исчисляется по формуле

(4.8)

где – нижняя граница модального интервала (интервала, имеющего максимальную частоту);

– длина модального интервала;

– частота модального интервала;

– частота интервала, предшествующего модальному интервалу;

– частота интервала, следующего за модальным интервалом.

Определим моду интервального ряда по данным табл. 4.6.

Таблица 4.6 – Интервальный ряд распределения

Группа предприятий по объему произведенной продукции, млн. руб.	Число предприятий в группе	Накопленная частота
1	2	3
5 – 6,6	3	3
6,6 – 8,2	4	7
8,2 – 9,8	7	14
9,8 – 11,4	4	18
11,4 – 13,0	4	22
13,0 – 14,6	3	25
Итого	25	х

Максимальная частота — 7. Модальным интервалом является интервал (8,2— 9,8). В соответствии с формулой (4.10) мода в этом случае

=9,0 млн. руб.

Медианой (М_е) называется значение варьирующего признака, которое делит ранжированный ряд данных на две равные части: одна половина единиц анализируемой совокупности будет иметь значение признака меньше медианы, а другая — больше.

При определении М_е по несгруппированным данным сначала их нужно расположить в возрастающем порядке (ранжировать). Затем — определить номер единицы совокупности, значение признака у которой и будет медианой. При небольшом объеме совокупности этот номер определяется визуально, а при большой совокупности — по формуле

(4.9)

Например, данные о стаже работы семи продавцов представлены в виде ранжированного ряда:

1, 2, 2, 3, 5, 7, 10.

В этом случае = (7 + 1):2 = 4. Соответственно, =3 года (четвертая по счету варианта в ранжированном ряду). Если число вариант будет четным: (1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 10), =9:2=4,5 и медиана будет равна средней арифметической из 4-й и 5-й варианты: (3 + 4):2=3,5 года.

В дискретном ряду распределения (табл. 4.5)

Следовательно, =37.

Медиана по данным интервального ряда распределения с равными интервалами определяется следующим образом:

1. Для каждого интервала рассчитывается накопленная частота (см. графу 3 табл. 4.6).

2. Определяется медианный интервал. Таким интервалом является тот. накопленная частота которого больше или равна 1/2 численности единиц совокупности. В рассматриваемом примере (табл. 4.6) это будет третий интервал — (8,2—9,8). Накопленная частота этого интервала — 14, что больше, чем 12,5 (половина от объема совокупности).

3. Медиана определяется по формуле

(4.10)

где – нижняя граница медианного интервала;

– величина медианного интервала;

– частота i-го интервала;

– накопленная частота интервала, предшествующего медианному интервалу;

– частота медианного интервала.

Расчёт моды и медианы для вариационных рядов с неравными интервалами определяется аналогично, но показатели частоты заменяются показателями абсолютной или относительной плотности распределения, что обеспечивает сопоставимость неравных интервалов. Показатели плотности распределения определяются как отношение частоты к длине интервала:

Аналогично медиане вычисляются значения признака, делящие совокупность на четыре части — квартили, на пять равных частей — квинтили, на десять равных частей — децили, на 100 частей – перцентили.

Средняя арифметическая, мода и медиана являются показателями центра статистического ряда распределения. В каждой конкретной задаче предпочтение может быть отдано любому из этих показателей.

В симметричных рядах распределения величины всех трех показателей совпадают, и предпочтение отдается средней арифметической. Симметричным является распределение, в котором частоты любых двух вариант, равноотстоящих от центра распределения, равны между собой. Для асимметричных рядов предпочтительной характеристикой центра ряда распределения является медиана, поскольку занимает положение между модой и средней арифметической.

В статистическом контроле качества продукции чаще пользуются медианой, а не средней арифметической, поскольку для определения ее в ранжированном ряду не требуется дополнительных расчетов и, кроме того, она не чувствительна к крайним значениям взятой контрольной пробы.

Мода применяется при изучении спроса населения на потребительские товары с целью выявления характеристик продукции, пользующейся повышенным спросом.