Критерий Сэвиджа

Однако максиминные и минимаксные критерии являются крайне осторожными, «пессимистичными», что может иногда приводить к результатам, противоречащим здравому смыслу.

Пример 3.6. Пусть функция задана с помощью таблицы 5.4, где элементы матрицы имеют смысл «потерь», которые следует минимизировать. Вероятности реализации состояний среды неизвестны.

Таблица 5.4. Матрица потерь

Альтернативы	Состояние среды		Максимум строк
	10 100	100	10 100
	10 000	10 000	10 000

Применение минимаксного критерия приводит к выбору альтернативы . Но здравый смысл подсказывает, что лучше выбрать альтернативу , поскольку совсем не исключено, что реализуется «состояние среды» и потери составят лишь 100 единиц, что на 10 000 единиц меньше гарантированных потерь при выборе альтернативы .

Критерий Сэвиджа позволяет смягчить консерватизм минимаксного (максиминного) критерия путем замены матрицы выигрышей или проигрышей , где новой матрицей , которая определяется следующим образом:

где .

Таким образом, есть разность между наилучшим значением в столбце и значением . Построенная таким способом матрица называется матрицей сожалений.

Критерий минимального сожаления, предложенный Сэвиджем, состоит в применении минимаксного критерия к матрице сожалений, независимо от того доходы или потери были заданы исходной матрицей (числа всегда имеют характер потерь и их необходимо минимизировать).

.

Чтобы показать, как критерий Сэвиджа «смягчает» минимаксный критерий, построим матрицу сожалений для последнего примера и посмотрим, какой результат получится, если применить минимаксный критерий вместо матрицы платежей к матрице потерь :

			Максимум строк
	100	0	100
	0	9900	9900

Как видим, минимаксный критерий, применяемый к матрице потерь, приводит к выбору решения , в качестве предпочтительного.

Для случая, когда множества альтернатив и состояний среды непрерывны, предполагая, что функционал требуется максимизировать, имеем:

.

Критерий Гурвица

Рассмотрим теперь критерий Гурвица. Этот критерий охватывает ряд различных подходов к принятию решений – от наиболее оптимистичного до наиболее пессимистичного (консервативного).

Пусть и величины представляют доходы. Решению, выбранному по критерию Гурвица, соответствует

Параметр называется показателем оптимизма.

Если , то критерий Гурвица становится консервативным, так как его применение эквивалентно применению обычного максиминного критерия.

Если , то критерий Гурвица становится слишком оптимистичным, ибо рассчитывает на наилучшие из наилучших условий.

Критерий Гурвица сводится к взвешенной комбинации обоих способов, устанавливая баланс между случаями предельного оптимизма и крайнего пессимизма.

Мы можем конкретизировать степень оптимизма (или пессимизма) надлежащим выбором величины из интервала [0,1]. При отсутствии ярко выраженной склонности к оптимизму или пессимизму выбор представляется наиболее разумным.

Если величины представляют потери, то критерий Гурвица принимает следующий вид:

.

В непрерывном случае, когда аргументы функционала не принадлежат конечным множествам, имеем: