9.3. Критерии усвоения.

После изучения и анализа содержания темы, Вы должны понимать следующее:

• методы исследования функций и построение графиков, которые широко используются как в теории, так и в практике, базируются на основных теоремах дифференциального исчисления;

• непрерывность и дифференцируемость функций являются основными условиями доказанных теорем;

• теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа, теорема Лагранжа – частным случаем теоремы Коши;

• правило Лопиталя применяется для функций, удовлетворяющих условиям теоремы Коши

• доказательство теоремы помогает осмыслить саму теорему.

В результате изучения данной темы Вы должны знать:

• формулировки теорем, их геометрический смысл;

• если нарушается хотя бы одно из условий теоремы, она теряет смысл;

• если при вычислении предела правило Лопиталя применяется многократно, то прежде чем переходить к пределам отношения очередных производных, полезно упростить полученное отношение, например, выделяя общие множители или используя уже известные пределы и приемы;

• правило Лопиталя является универсальным средством раскрытия неопределенностей вида (0/0), (/),(0), (), (0⁰), (⁰), (1^);

• но, невзирая на это утверждение, правило Лопиталя не заменяет полностью, рассмотренные в теме «Пределы», приемы вычисления пределов, а дополняют их.

Ваши знания должны обеспечивать следующие умения:

• проверить справедливость теоремы Ролля, Лагранжа для заданной функции на заданном отрезке;

• проиллюстрировать теоремы геометрически;

• для двух функций, заданных на отрезке, убедиться в справедливости теоремы Коши;

• со смыслом применять правило Лопиталя при раскрытии неопределенностей, указанных выше.

9.4. Выход темы в другие темы и дисциплины.

Данная тема имеет выход в другие темы курса «Высшей математики».

• исследование функций и построение графиков;

• несобственные интегралы;

• функции двух переменных;

• ряды.

9.5. Тест – контроль для самопроверки.

1. Выполняется ли теорема Ролля для функции f (х) = х² – 6х + 100, если а = 1, b = 5?

А: да;

Б: нет;

2. Если в предыдущей задаче условия теоремы Ролля выполняются, то при каком значении с ?

А: с = 1,5;

Б: с = 4;

В: с = 3.

3. На дуге АВ кривой у = 2х – х². Найти точку М₀, в которой касательная параллельна хорде АВ, если А (1; 1) и В (3; 3).

А: М₀ (2; 2);

Б: М₀ (2; 0);

В: М₀ (0; 2)

4. Применима ли теорема Лагранжа к функции f (х) = 3/х на отрезке 1; 3?

А: да;

Б: нет.

5. Удовлетворяет ли функция f (х) = х² – 1 условиям теоремы Ферма на отрезке 2; 3?

А: нет;

Б: да.

6. Проверить справедливость теоремы Коши для функций f (х) = х³ и  (х) = х² на отрезке 1; 2.

А: не справедлива;

Б: справедлива.

7. Можно ли непосредственно применить правило Лопиталя при отыскании предела следующих функций?

1. 

А: да;

Б: нет.

2. 

А: да;

Б: нет.

3. 

А: нет;

Б: да.

4. 

А: да;

Б: нет.

5. 

А: да;

Б: нет.

6. 

А: нет;

Б: да.