§ 6. Раскрытие неопределенностей вида

(0), (), (0⁰), (⁰), (1^).

Каждую из этих неопределенностей можно свести к неопределенностям вида (0/0) или (/).

1. Пусть , . Тогда

или

.

Пример. Найти .

Решение.

.

2. Пусть , . Тогда

Часто практически такого же результата удается достигнуть проще.

Пример. Найти

.

Решение.

.

3. Пусть требуется найти и при этом имеет место одна из неопределенностей (0⁰), (⁰), (1^). Воспользуемся тем, что степенно-показательную функцию , которая определена при f (х)  0, можно представить в виде

.

В силу непрерывности показательной функции

,

при этом во всех трех случаях в показателе степени будет иметь место неопределенность (0), которая далее легко сводится к неопределенностям вида (0/0) или (/).

Пример. Найти

.

Решение.

.

Найдем предел показателя степени:

.

Таким образом, .

Неопределенности вида (0⁰), (⁰), (1^) можно свести к неопределенности вида (0) путем предварительного логарифмирования.

Пусть требуется найти

Положим и прологарифмируем обе части этого равенства:

ln y =  (x) ln f (х).

При х  а справа получим неопределенность (0). Сначала найдем , а затем – , это легко сделать, так как и, если , то .

Пример. Найти .

Решение. Положим у = х^х, тогда ln y = х ln х. Перейдем к пределу при х  0+0

.

Таким образом, или , то есть

.

Раскрытие неопределенностей вида (0), (), (0⁰), (⁰), (1^) (9.6).

Неопределенности вида (0): в этом случае , где , , произведение преобразуется в частное:

или

.

Неопределенности вида (): , где и , приводятся к неопределенности вида (0/0) с помощью алгебраического преобразования

.

Неопределенности вида (0⁰), (⁰), (1^) раскрываются посредством сведения к неопределенности вида (0) с помощью предварительного логарифмирования или переноса неопределенности в показатель степени

(f (х)  0),

вследствие чего нахождение предела степенно-показательной функции сводится к нахождению предела произведения .

9.6. Раскрытие неопределенностей вида (0), (), (00), (0), (1) (адрес файла Блок 4 __ ). Неопределенности вида (0): в этом случае , где , , произведение преобразуется в частное: или . Неопределенности вида (): , где и , приводятся к неопределенности вида (0/0) с помощью алгебраического преобразования . Неопределенности вида (00), (0), (1) раскрываются посредством сведения к неопределенности вида (0) с помощью предварительного логарифмирования или переноса неопределенности в показатель степени (f (х)  0), вследствие чего нахождение предела степенно-показательной функции сводится к нахождению предела произведения . Вернитесь к тексту

В этой лекции Вы познакомились с именами выдающихся французских математиков XVII – XIX столетий.

Ферма Пьер (1601–1665), Ролль Мишель (1652–1719), Лагранж Жозеф-Лун (1736–1813),

А.Л. Коши (1789–1857), Лопиталь Гильом Франсуа (1661–1704).