§ 4. Теорема Коши.

Теорема Коши (9.4).

Если функции f (х) и  (х) 1) непрерывны на отрезке а, b, 2) дифференцируемы на интервале (а, b) и 3)  (х)  0 на интервале (а, b), то существует по крайней мере одна точка с,

а  с  b, такая, что

, (4)

т.е. отношение приращений функций на данном отрезке равно отношению их производных в точке с.

9.4. Теорема Коши (адрес файла Блок 4 ____ ). Если функции f (х) и  (х) 1) непрерывны на отрезке а, b, 2) дифференцируемы на интервале (а, b) и 3)  (х)  0 на интервале (а, b), то существует по крайней мере одна точка с, а  с  b, такая, что , т.е. отношение приращений функций на данном отрезке равно отношению их производных в точке с. Вернитесь к тексту

Доказательство. Отметим, что  (b) –  (а)  0, так как в противном случае  (b)= (а), и тогда по теореме Ролля производная  (х) обращалась бы в нуль внутри отрезка, что противоречит условию теоремы.

Рассмотрим вспомогательную функцию

F (x) = f (x) – k  (х), где k – число.

Подберем число k так, чтобы функция F (x) принимала на концах отрезка равные значения

F (а) = F (b).

Но F (а) = f (а) – k  (а), F (b) = f (b) – k  (b).

Для определения k получили уравнение

f (а) – k  (а) = f (b) – k  (b), откуда

.

Функция F (x) удовлетворяет условиям теоремы Ролля, т.е. 1) функция непрерывна на а, b,

2) дифференцируема на (а, b), 3) F (b) = F (а). Следовательно, существует точка с  (а, b), в которой производная функции F (x) равна нулю:

F  (с) = 0.

Дифференцируем функцию F (x):

F  (х) = f  (x) – k  (х).

При х = с получим

F  (с) = f  (с) – k  (с) = 0, откуда

.

Таким образом, получаем

.

Теорема доказана.

Доказанное равенство называется формулой Коши. В частном случае, когда  (х) = х, будем иметь

.

Таким образом, теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши.

Задача. Проверить справедливость теоремы Коши для функций f (х) = cos 2x и  (х) = sin x на отрезке 0; /2.

Решение. Обе функции непрерывны и дифференцируемы на 0; /2, причем

 (х) = cos x  0 на (0, /2). Для нахождения точки с имеем уравнение

,

,

2 = 4 sin с, откуда 2 sin с = 1,

.

Теорема Коши для заданных функций справедлива.

§ 5. Правило Лопиталя.

Рассмотрим правило Лопиталя и его приложение к нахождению пределов. Пусть функции f (х) и  (х) на некотором отрезке а, b удовлетворяют условиям теоремы Коши и обращаются в нуль в точке х = а, т.е. f (а) =  (а) = 0. В этом случае отношение

не определено в точке х = а, но имеет вполне определенный смысл при х  а. Следовательно, можно искать предел этого отношения при х  а.

Вычисление пределов такого типа называется, как известно «раскрытием неопределенности вида 0/0».

Теорема (Правило Лопиталя) (9.5).

Пусть функции f (х) и  (х) на некотором отрезке а, b удовлетворяют условиям теоремы Коши и обращаются в нуль в точке х = а, то есть f (а) =  (а) = 0; тогда, если существует предел отношения при х  а, то существует и , причем

(5)

9.5. Теорема (Правило Лопиталя) (адрес файла Блок 4 ____ ). Пусть функции f (х) и  (х) на некотором отрезке а, b удовлетворяют условиям теоремы Коши и обращаются в нуль в точке х = а, то есть f (а) =  (а) = 0; тогда, если существует предел отношения при х  а, то существует и , причем Замечание. Правило Лопиталя применимо и в том случае, если и : Пусть функции f (х) и  (х) непрерывны и дифференцируемы при всех х  а в окрестности точки а, причем   (х) не обращается в нуль, пусть, далее, , и пусть существует . Тогда существует и эти пределы равны, то есть . Вернитесь к тексту

Доказательство. Возьмем на отрезке а, b какую-нибудь точку х  а. Применяя формулу Коши, будем иметь

,

где с лежит между а и х. Но по условию теоремы f (а) =  (а) = 0, значит

.

Если х  а, то и с  а, так как точка с заключена между х и а. При этом, если

, то

также существует и равен А. Отсюда следует, что

,

и окончательно

.

Теорема доказана.

Замечание 1. Теорема имеет место и в том случае, если функции f (х) и  (х) не определены в точке х = а, но , .

Для того, чтобы свести этот случай к рассмотренному, нужно доопределить функции f (х) и  (х) в точке х = а так, чтобы они стали непрерывными в точке а. Для этого достаточно положить

; ,

так как предел отношения

при х  а не зависит от того, определены ли функции f (х) и  (х) в точке х = а.

Замечание 2. Если f  (а) =   (а) = 0 и производные f  (х) и   (х) удовлетворяют тем же условиям, которые были наложены на функции f (х) и  (х), то, применяя правило Лопиталя к отношению

,

приходим к формуле

и т.д.

Замечание 3. Правило Лопиталя применимо и в том случае, если

и .

Действительно, полагая х = 1/t, замечаем, что t  0 при х   и, следовательно,

, .

Применяя правило Лопиталя к отношению

,

находим:

,

что и требовалось доказать.

Замечание 4. Может оказаться, что

не существует. В этом случае нельзя делать вывод, что

тоже не существует. Следует попытаться найти этот предел другим способом.

Пример. Найти

.

Решение. Функции f (x) = ln (х² – 8) и  (х) = 2х² – 5х – 3 удовлетворяют условиям теоремы Коши в окрестности точки х = 3, кроме того f (3) = ln 1 = 0,  (3) = 18 – 15 – 3 = 0.

Применим правило Лопиталя:

.

Пример. Найти

.

Решение.

.

В рассмотренном примере правило Лопиталя применили трижды.

Мы рассмотрели вопрос о пределе отношения двух бесконечно малых величин. Если же при х  0 (х  ) f (х)   и  (х)  , то вычисление

называется «раскрытием неопределенности вида (/)».

Теорема. Пусть функции f (х) и  (х) непрерывны и дифференцируемы при всех х  а в окрестности точки а, причем   (х) не обращается в нуль, пусть, далее,

,

и пусть существует

.

Тогда существует

и эти пределы равны, то есть

.

Была доказана справедливость правила Лопиталя применительно к неопределенности (0/0). Аналогично оно применимо и для неопределенности вида (/).

Доказательство теоремы опустим. Заметим, что при раскрытии неопределенностей вида (/) имеют место замечания (2 – 4) аналогичные тем, которые были сделаны после доказательства теоремы (9.5).

Пример. Найти

.

Решение. При х   ах² + b   и сх² – d  ,следовательно, имеет место неопределенность вид (/). Применим правило Лопиталя.

.

Пример. Найти

.

Решение. При х   числитель и знаменатель дроби стремятся к бесконечности, но попытка применить правило Лопиталя приводит к той же неопределенности, но более сложного вида, поэтому применение правила Лопиталя (хотя оно является универсальным) не имеет смысла. Предел легко находится, если сравнить порядок бесконечно больших величин числителя и знаменателя. И в числителе и в знаменателе бесконечно большие одного (первого) порядка, поэтому предел равен отношению коэффициентов при первых степенях, то есть 3/2. Этот же результат можно было получить путем деления числителя и знаменателя на х.

.

Рассмотренный пример показывает, что если применение правила Лопиталя затруднительно или невозможно, то полезно вспомнить приемы раскрытия неопределенностей в теме «Введение в математический анализ».