§ 3. Теорема Лагранжа.

Теорема Лагранжа (9.3).

Если функция f (х) 1) непрерывна на замкнутом промежутке а, b, 2) дифференцируема во всех точках интервала (а, b), то внутри промежутка а, b найдется по крайней мере одна такая точка с, а  с  b, что

(3)

9.3. Теорема Лагранжа (адрес файла Блок 4 ____ ). Если функция f (х) 1) непрерывна на замкнутом промежутке а, b, 2) дифференцируема во всех точках интервала (а, b), то внутри промежутка а, b найдется, по крайней мере, одна такая точка с, а  с  b, что Вернитесь к тексту

Доказательство. Введем вспомогательную функцию

F (x) = f (x) – kx.

Число k подберем так, чтобы функция F (x) удовлетворяла условиям теоремы Ролля. Первые два условия теоремы Ролля выполнены при любом k, т.е. функция F (x) непрерывна на а, b и дифференцируема на (а, b). Найдем k, при котором F (а) = F (b):

.

Итак, функция

удовлетворяет условиям теоремы Ролля для всех х  (а, b). Согласно этой теореме существует точка с  (а, b) такая, что F  (с) = 0.

При х = с получим

,

что и требовалось доказать.

Выясним геометрический смыл теоремы Лагранжа (Рис. 12).

Рис. 12.

из треугольника ABD, f  (с) равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке С с абсциссой х = с, где а  с  b, т.е. f  (с) = tg 

Таким образом, геометрический смысл теоремы Лагранжа следующий: на произвольной дуге графика дифференцируемой функции всегда найдется такая точка, в которой касательная к графику будет параллельна хорде, стягивающей концы дуги.

Замечание 1. Теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа при f (а) = f (b).

Замечание 2. Применим теорему Лагранжа к функции у = f (х) на промежутке

х, х +  х  а, b:

,

где с  (х, х +  х) или  у = f  (с)  х.

Это равенство принято называть формулой конечных приращений Лагранжа.

Равенство  у = f  (с)  х дает точное выражение для приращения функции  у при любом конечном приращении  х аргумента, но, к сожалению, теорема Лагранжа не дает способа отыскания точки с. Но сам факт существования такой точки находит широкое применение при решении многих задач анализа.

Задача. Проиллюстрировать теорему Лагранжа на примере функции y = ln x на отрезке 1, е.

Решение. Функция y = ln x непрерывна и дифференцируема на 1, е, следовательно, применима теорема Лагранжа, и должна существовать точка С (1  с  е) такая, что

или

(так как f  (х) = (ln x) = 1/х; f  (с) = 1/с). Очевидно, с = е – 1 (Рис. 13).

Рис. 13.

Касательная к графику функции y = ln x в точке М0 параллельна хорде АВ.