§ 2. Теорема Ролля.
Теорема Ролля (о корнях производной) (9.2).
Если функция f (х) 1) непрерывна на замкнутом промежутке а, b, 2) дифференцируема во всех внутренних точках этого промежутка и 3) на концах промежутка принимает равные значения f (a) f (b), то внутри промежутка a, b найдется по крайней мере одна точка с
(а с b), в которой производная обращается в нуль, т.е.
f (с) = 0 (2)
9.2. Теорема Ролля (о корнях производной) (адрес файла Блок 4 ____ ). Если функция f (х) 1) непрерывна на замкнутом промежутке а, b, 2) дифференцируема во всех внутренних точках этого промежутка и 3) на концах промежутка принимает равные значения f (a) f (b), то внутри промежутка a, b найдется, по крайней мере, одна точка с (а с b), в которой производная обращается в нуль, т.е. f (с) = 0 Вернитесь к тексту |
Доказательство. Так как функция f (х) непрерывна на а, b, то по теореме Вейерштрасса (9.16 ПМ – МА. 9) она имеет на этом замкнутом промежутке наибольшее значение М и наименьшее значение т, т.е. существуют такие точки х1 и х2 а, b, что f (х1) = т, f (х2) = М и выполняются неравенства т f (х) М.
Возможны два случая: 1) М = т, 2) т М. В первом случае f (х) = const = М = т. Поэтому производная f (х) равна нулю в любой точке а, b, и теорема доказана.
Во втором случае так как f (а) = f (b), то хотя бы одно из двух значений, т или М, не принимается на концах замкнутого промежутка а, b, т.е. существует точка с а, b, в которой функция f (х) принимает наибольшее или наименьшее значение на интервале (а, b). Тогда, так как f (х) дифференцируема в точке с, из теоремы Ферма следует, что f (с) = 0 и теорема Ролля доказана.
Геометрический смысл теоремы Ролля: в условиях теоремы Ролля на графике функции у = f (х) найдется по крайней мере одна точка, в которой касательная к графику будет параллельна оси Ох (Рис. 6).
Рис.6.
Нарушение хотя бы одного из условий теоремы Ролля может привести к тому, что для соответствующей функции заключение теоремы не будет справедливым (смотрите геометрическую интерпретацию).
Рис. 7. |
Рис. 8. |
Рис. 9. |
Рис. 10. |
На рис. 7 в точке х = с функция разрывна (а с b); на рис. 8 функция разрывна на конце отрезка в точке х = а; на рис. 9 не выполнено условие f (а) = f (b); на рис. 10 функция в точке х = с не имеет производную.
В частном случае, когда f (а) = f (b) = 0, теореме Ролля можно дать новое, полезное для приложений толкование: между двумя нулями дифференцируемой функции всегда заключен, по крайней мере, один нуль ее производной (отсюда название – теорема о корнях производной).
Напоминаем, что корнями или нулями функции называются те значения аргумента, при которых функция обращается в нуль.
Рис. 11. |
На рис. 11 точки а, х1, х2, b – нули функции, то есть f (а) = f (х1) = f (х2) = f (b) = 0, точки с1, с2, с3, с4, с5 – нули производной, в которых производная f (х) обращается в нуль, то есть f (с1) = f (с2) = f (с3) = f (с4) = = f (с5) = 0. |
Задача.
Проверить справедливость теоремы Ролля
для функции
на замкнутом промежутке 2;
2.
Решение. Так как х4 – 2х2 + 8 = (х2 – 1)2 + 7 0 при всех х (; +), то функция определена и непрерывна на всей числовой оси. Найдем производную функции
.
Производная тоже определена на всей числовой оси. Наконец, в силу четности функции, выполняется и условие f (а) = f (b): f (2) = f (2) = 4. Итак, все условия теоремы Ролля выполнены. Убедимся, что на промежутке 2; 2 имеется хотя бы одна точка, в которой f (х) = 0.
Уравнение
имеет, очевидно, три корня х1 = 1, х2 = 0, х3 = 1, и все они принадлежат интервалу (2; 2). Теорема Ролля для заданной функции на промежутке 2; 2 справедлива.