ПМ. ДИФОП – 9. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО

ИСЧИСЛЕНИЯ. РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ ПРИ НАХОЖДЕНИИ ПРЕДЕЛОВ ФУНКЦИЙ.

ПМ. ДИФОП – 9. Ключевые слова и понятия.

9.1. Теорема Ферма.

9.2. Теорема Ролля.

9.3. Теорема Лагранжа.

9.4. Теорема Коши.

9.5. Правило Лопиталя.

9.6. Раскрытие неопределенностей вида (0), (), (0⁰), (⁰), (1^) при нахождении пределов функций.

9.1. Входная информация для самоконтроля.

Приступая к изучению данной темы, Вам необходимо восстановить в памяти (или восполнить) знания из прошлых периодов обучения: теорема Вейерштрасса (9.16 ПМ – МА. 9); определение производной (1.2 ПМ. ДИФОП – 1); геометрический смысл производной (1.3 ПМ. ДИФОП – 1); односторонние производные (1.4 ПМ. ДИФОП – 1); таблица производных основных элементарных функций (2.10 ПМ. ДИФОП – 2).

9.2. Содержание темы

9.2.1. Структурно-логическая схема содержания темы

9.2.2. Тематическое содержание.

Значение производной f  (х) часто позволяет делать заключения о поведении самой функции f (х). Теоретическое обоснование этих заключений основывается на теоремах, имеющих весьма важное значение в математическом анализе. Эти теоремы и будут рассмотрены в предлагаемой лекции.

§ 1. Теорема Ферма.

Теорема Ферма (9.1).

Пусть функция f (х) непрерывна на замкнутом промежутке а, b и принимает наибольшее (наименьшее) значение в некоторой внутренней точке х₀ этого промежутка. Тогда, если в точке х₀ функция имеет производную, то

f  (х₀) = 0 (1)

9.1. Теорема Ферма (адрес файла Блок 4 ___ ). Пусть функция f (х) непрерывна на замкнутом промежутке а, b и принимает наибольшее (наименьшее) значение в некоторой внутренней точке х0 этого промежутка. Тогда, если в точке х0 функция имеет производную, то f  (х0) = 0 Вернитесь к тексту

Доказательство. Предположим, что f (х₀) есть наибольшее значение функции, в случае, когда f (х₀) – наименьшее значение, доказательство аналогично.

При достаточно малых  х, когда точка х₀ +  х принадлежит интервалу (а, b), f (х₀ + х)–f (х₀)  0 независимо от знака  х:

1. При  х  0

Переходя к пределу при  х  0 ( х  0), получим

,

(предел существует и равен f  (х₀), так как по условию теоремы функция f (х) дифференцируема в точке х₀).

2. При  х  0

,

откуда, переходя к пределу при  х  0, получим

Сравнивая полученные для f  (х₀) неравенства, заключаем, что они оба будут верны только тогда, когда f  (х₀) = 0. Тем самым теорема Ферма доказана.

Замечание 1. При доказательстве теоремы опирались на два положения из теории пределов:

1. Если переменная величина принимает только неотрицательные значения, то ее предел (если он существует) не может быть числом отрицательным.

2. Если переменная величина принимает только неположительные значения, то ее предел (если он существует) не может быть числом положительным.

Геометрически равенство f  (х₀) = 0 означает, что в соответствующей точке графика функции касательная будет параллельна оси Ох (Рис. 1), (Рис. 2).

Рис. 1.

Рис. 2.

Замечание 2. Если функция f (х) принимает наибольшее (наименьшее) значение в граничной точке замкнутого промежутка, то производная в этой точке (если она существует) может быть и отличной от нуля (Рис. 3).

Замечание 3. В точке наибольшего (наименьшего) значения функции производная может и не существовать. В этом случае график функции в соответствующей точке не будет иметь касательной (Рис. 4).

Рис. 3. f  (х0) = 0, f  (b)  0 f (b) = М – наибольшее значение.

Рис. 4. f  (х1) и f  (х2) не существуют. f (х1) = М – наибольшее значение, f (х2) = т – наименьшее значение.

Задача. Проиллюстрировать теорему Ферма на примере функции y = sin x на отрезке

.

Решение. Очевидно, для функции y = sin x

 наибольшее значение,

 наименьшее значение на отрезке (Рис. 5).

Рис. 5.

Функция y = sin x имеет производную у = cos x, причем и Именно это и утверждается в теореме Ферма.