§ 6. Угол между двумя кривыми.

Угол между двумя кривыми (5.6).

Под углом между двумя кривыми, заданных уравнениями у = f₁ (х) и у = f₂ (х), пересекающимися в точке М₀ (х₀; у₀), понимают угол  между касательными к этим кривым в

Рис. 9.

точке М0 (Рис. 9). Вычисление угла  сводится к определению угла между двумя прямыми по формуле: , где принято . Угловые коэффициенты прямых (касательных l1 и l2) равны k1 = tg 1 = f1 (х0), k2 = tg 2 = f2 (х0).

5.6. Угол между двумя кривыми (адрес файла Блок 4 ____ ). Под углом между двумя кривыми, заданных уравнениями у = f1 (х) и у = f2 (х), пересекающимися в точке М0 (х0; у0), понимают угол  между касательными к этим кривым в точке М0. Вычисление угла  сводится к определению угла между двумя прямыми по формуле:
Рис.	, где принято . Угловые коэффициенты прямых (касательных l1 и l2) равны k1 = tg 1 = f1 (х0), k2 = tg 2 = f2 (х0)
Вернитесь к тексту

Задача 11. Под каким углом гипербола у = 1/х пересекается с параболой ?

Решение. Пусть М₀ (х₀; у₀) – точка пересечения заданных кривых. Найдем ее координаты,

Рис. 10.

решая систему уравнений , , х3 = 1  х0 = 1 и у0 = 1. Пусть f1 (х) = 1/х, (Рис. 10). Найдем производные этих функций: ;

Угловой коэффициент касательной EF, проведенной к гиперболе в точке М₀, равен

k₁ = f₁ (х₀) = f₁ (1) = 1;

Угловой коэффициент касательной PQ, проведенной к параболе в точке М₀, равен

.

Угол между гиперболой и параболой равен углу  между касательными EF и PQ:

.

5.3. Критерии усвоения.

После изучения и анализа содержания темы, Вы должны понимать следующее:

• наряду с основными элементарными функциями и сложными функциями, составленными из цепочки основных элементарных функций, существуют функции вида у = log_v u и у = u^v, где и и v – функции, зависящие от х;

• знание таблицы производных основных элементарных функций и правил дифференцирования позволяет дифференцировать функции, заданные неявно, если при этом помнить, что х = 1, (у) = у;

• введение параметрического способа задания функциональной зависимости между переменными х и у, расширяет Ваши познания раздела «Кривые и их графики» (циклоида, астроида);

• гиперболические функции очень важны. Они являются предметом изучения раздела математики под названием «Гиперболическая тригонометрия». Под этим названием объединены элементарные сведения, о гиперболических функциях, аналогичные сведениям о тригонометрических функциях;

• составление уравнений касательной и нормали к кривой в заданной точке, а также определение угла между двумя кривыми являются яркими примерами применения производной функции к решению геометрических задач на плоскости.

В результате изучения данной темы Вы должны знать:

• принцип логарифмического дифференцирования и основные свойства логарифмов;

• прием дифференцирования функции, заданной неявно;

• параметрический способ задания функции упрощает решение многих практических задач: при вычислении площадей замкнутых фигур, длины дуги кривых и т.д.;

• производные гиперболических функций;

• уравнения касательной и нормали независимо от того, как задана функция: явно, неявно, параметрически;

• формулу для определения угла между двумя кривыми.

Ваши знания должны обеспечивать следующие умения:

• находить логарифмическую производную;

• при дифференцировании функции, заданной неявно, не допускать ошибок при необходимых алгебраических преобразованиях;

• не путать формулу дифференцирования функции, заданной параметрически, с формулой дифференцирования частного;

• находить производную гиперболической функции, исходя из ее определения или по известной формуле;

• при составлении уравнений касательной и нормали, при определении угла между двумя кривыми вычислять частное значение функции и частное значение производных в точке касания, независимо от способа задания функции.