§ 5. Уравнения касательной и нормали к кривой.

Пусть кривая задана уравнением у = f (х).

Возьмем на этой кривой точку М₀ (х₀, у₀) (Рис. 8) и напишем уравнение касательной к данной кривой в точке М₀, предполагая, что эта касательная не параллельна оси ординат.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через точку М₀, как известно из аналитической геометрии, имеет вид у – у₀ = k (х – х₀).

В первой лекции этого раздела было дано само определение касательной и там же было установлено, что угловой коэффициент касательной, о котором идет речь, равен f  (х₀).

Полагая для краткости f  (х₀) = у₀, получим уравнение касательной:

у – у₀ = у₀ (х – х₀) (11)

На (Рис.8) АМ₀ – касательная, k = tg  = f  (х₀).

Наряду с касательной к кривой в данной точке очень часто приходится рассматривать нормаль.

Рис. 8.

Определение. Нормалью к кривой в данной точке называется прямая, проходящая через данную точку, перпендикулярно к касательной.

На (Рис. 8) ВМ₀ – нормаль к кривой у = f (х) в точке М₀ (х₀; у₀).

Учитывая, что угловой коэффициент касательной в точке М₀ есть f  (х₀) = у₀, и вспоминая условие перпендикулярности двух прямых, найдем угловой коэффициент нормали:

Следовательно, уравнение нормали к кривой у = f (х) в точке М₀ (х₀; у₀) имеет вид:

(12)

Если уравнение нормали запишем в виде у₀ (у – у₀) = (х – х₀), то из него можно получить уравнение нормали, перпендикулярной оси Ох. Ее уравнение будет

х = х₀ (13)

Задача 8. Написать уравнения касательной и нормали к параболе у = 3х² – 12х + 8 в точках А (5; у₀) и В (2; у₁).

Решение. Найдем ординаты точек касания: у₀ = у (5) = 3  5² – 12  5 + 8 = 23. Значит

А (5, 23). у₁ = у (2) = 3  2² – 12  2 + 8 = 4, В (2; 4). Найдем производную заданной функции.

у = (13х² – 12х + 8) = 6х – 12, откуда

у_А = у (5) = 6  5 – 12 = 18; у_В = у (2) = 6  2 – 12 = 0.

Уравнение касательной в точке А:

у – 23 = 18 (х – 5) или 18х – у – 67 = 0.

Уравнение нормали в точке А:

или х + 18у – 419 = 0.

Уравнение касательной и нормали в точке В соответственно:

у + 4 = 0 (х – 2)  у = –4.

0 (у + 4) = –(х – 2)  х = 2.

Задача 9. Составить уравнение касательной к эллипсу

в точке М₀ (х₀; у₀), лежащей на этом эллипсе.

Решение. В данном случае функция задана неявно. Применяем формулу (2) дифференцирования функции, заданной неявно.

, ,

откуда

.

Стало быть

Подставляя это в (11) находим уравнение интересующей нас касательной:

.

Отсюда

или

.

Поскольку точка М₀ (х₀; у₀) лежит на эллипсе, то

,

и окончательно получается уравнение касательной к эллипсу в виде

.

Замечание. Этим же методом легко показать, что уравнения касательных к гиперболе

и параболе у² = 2рх имеют соответственно вид:

и у у₀ = р (х + х₀).

Задача 10. Найти уравнения касательной и нормали к кривой

в точке М₀, где t₀ = 3.

Решение. Сначала найдем х₀, у₀ – координаты точки М₀:

х₀ = х (t₀) = х (3) = 3  3 – 5 = 4

у₀ = у (t₀) = у (3) = 3² – 4 = 5

Итак, точка касания М₀ (4; 5). По формуле

найдем производную функции, заданной параметрически.

.

Теперь найдем угловой коэффициент касательной k = у₀,

.

Уравнение касательной примет вид:

у – 5 = 2 (х – 4) или 2х – у – 3 = 0.

Уравнение нормали:

или х + 2у – 14 = 0.

Уравнения касательной и нормали к кривой (5.5).

1. Если кривая определена уравнением у = f (х), то уравнения касательной и нормали к ней в точке М₀ (х₀; у₀) соответственно имеют вид:

у – у₀ = у₀ (х – х₀),

.

2. Если кривая задана неявно уравнением F (х; у) = 0, то уравнения касательной и нормали, проведенных в точке М₀ (х₀; у₀) на ней, запишутся так:

у – у₀ = у (х₀; у₀) (х – х₀),

где у (х₀, у₀) есть производная неявной функции F (х; у) = 0, в которой переменные х и у заменены числами х₀ и у₀ – координатами точки касания.

3. Если кривая задана параметрическими уравнениями

,

то касательная и нормаль к этой кривой в точке, соответствующей значению параметра t = t₀, определяются уравнениями

у – у₀ = у_х (t₀) (х – х₀),

,

причем у (t₀) определяется по формуле

и в полученном выражении параметр t заменяется числом t₀. Числа же х₀ и у₀ находятся из уравнений

,

если в них заменить параметр t числом t₀.

5.5. Уравнения касательной и нормали к кривой (адрес файла Блок 4 ___ ). Если кривая определена уравнением у = f (х), то уравнения касательной и нормали к ней в точке М0 (х0; у0) соответственно имеют вид: у – у0 = у0 (х – х0), . Если кривая задана неявно уравнением F (х; у) = 0, то уравнения касательной и нормали, проведенных в точке М0 (х0; у0) на ней, запишутся так: у – у0 = у (х0; у0) (х – х0), где у (х0, у0) есть производная неявной функции F (х; у) = 0, в которой переменные х и у заменены числами х0 и у0 – координатами точки касания. Если кривая задана параметрическими уравнениями , то касательная и нормаль к этой кривой в точке, соответствующей значению параметра t = t0, определяются уравнениями у – у0 = ух (t0) (х – х0), , причем у (t0) определяется по формуле и в полученном выражении параметр t заменяется числом t0. Числа же х0 и у0 находятся из уравнений , если в них заменить параметр t числом t0. Вернитесь к тексту