§ 4. Гиперболические функции и их дифференцирование.

Во многих приложениях математического анализа встречаются комбинации показательных функций вида

и .

Эти комбинации рассматривают как новые функции и обозначают так:

 гиперболический синус,

 гиперболический косинус.

С помощью этих функций можно определить еще две функции

и :

 гиперболический тангенс,

 гиперболический котангенс.

Функции sh x, ch x, th x определены, очевидно, для всех значений х. Функция же сth x определена всюду, кроме х = 0.

Графики гиперболических функций показаны на рисунках (5), (6) и (7).

Рис. 5.

Рис. 6.

Рис. 7.

Из определения функций sh x и ch x следует соотношения, аналогичные соотношениям между соответствующими тригонометрическими функциями:

ch² x – sh² x = 1

sh (х + у) = sh x  ch у + ch x  sh у

ch (х + у) = ch x  ch у + sh x  sh у

sh 2x = 2 sh x  сh х

ch 2x = sh² x + ch² x

Все формулы доказываются легко, если воспользоваться определением гиперболических функций.

Докажем одну из этих формул:

.

Название «гиперболические функции» объясняется тем, что функции sh x и сh х играют ту же роль для параметрического представления гиперболы

х² – у² = 1,

какую тригонометрические функции sin t и cos t – для параметрического представления окружности (3). Уравнения

(8)

являются параметрическими уравнениями гиперболы.

Действительно, возведя почленно в квадрат обе части уравнении (8) и вычитая из первого второе, получим

х² – у² = ch² t – sh² t = 1,

т.е. х² – у² = 1.

Производные гиперболических функций определяются формулами

(9)

Докажем, например, что

,

исходя из определения th x

,

что и требовалось доказать.

Применяя правило дифференцирования сложной функции у_х = у_и  и_х, можно записать

(10)

Задача 7. Найти производные функций:

1) у = ln sh²x; 2) y = th³ (x³ + 1).

Решение. Используя правило дифференцирования сложной функции, получим

1) ;

2)

.

Гиперболические функции и их дифференцирование (5.4).

Показательная функция у = е^х имеет широкое применение при решении разнообразных задач. Но кроме самой этой функции, как в математике, так и в прикладных науках применяются различные комбинации ее с функцией у = е^х.

По определению вводятся такие часто встречающиеся комбинации функций у = е^х и у = е^х:

называется гиперболическим синусом и обозначается символом sh x;

(  х  +);

называется гиперболическим косинусом и обозначается символом ch x;

(  х  +);

называется гиперболическим тангенсом и обозначается th x;

(  х  +);

называется гиперболическим котангенсом и обозначается символом сth x;

(  х  0), (0  х  +).

Производные гиперболических функций вычисляются по формулам (и = и (х)):

(10)

Эти формулы следует запомнить.

5.4. Гиперболические функции и их дифференцирование (адрес файла Блок 4 ___ ). Показательная функция у = ех имеет широкое применение при решении разнообразных задач. Но кроме самой этой функции, как в математике, так и в прикладных науках применяются различные комбинации ее с функцией у = ех. По определению вводятся такие часто встречающиеся комбинации функций у = ех и у = ех: называется гиперболическим синусом и обозначается символом sh x; (  х  +); называется гиперболическим косинусом и обозначается символом ch x; (  х  +); называется гиперболическим тангенсом и обозначается th x; (  х  +); называется гиперболическим котангенсом и обозначается символом сth x; (  х  0), (0  х  +). Производные гиперболических функций вычисляются по формулам (и = и (х)): Эти формулы следует запомнить. Вернитесь к тексту

Замечание. Графиком функции

является цепная линия. Форму цепной линии принимает гибкая тяжелая нерастяжимая нить, подвешенная в двух точках.