Выведем параметрические уравнения окружности.
Рассмотрим окружность радиуса R с центром в начале координат (Рис. 1). Положение любой точки М этой окружности вполне определяется заданием угла t, образованного осью Ох и радиусом ОМ = R.
Естественно выразить координаты х и у точки М через этот угол.
Рис. 1. |
Из прямоугольного треугольника ОМВ
Эти равенства, в какой бы четверти ни находилась точка М и представляют собой параметрические уравнения окружности. Параметр t можно изменять от до +, но если нужно получить каждую точку окружности только один раз, то достаточно заставить t пробежать промежуток 0 t 2. Обычно изменяют t в пределах 0 t 2, хотя при этом точка А получается дважды: при t = 0 и при t = 2. |
(3)Чтобы получить каноническое уравнение окружности, надо исключить из уравнения (3) параметр t. Проще всего это сделать, возведя равенства (3) в квадрат и сложив результаты. Это приводит к хорошо знакомому уравнению окружности х2 + у2 = R2.
Выведем параметрические уравнения эллипса.
Проведем следующее построение:
Рис. 2. |
Возьмем две концентрические окружности с центром в начале координат, с радиусами а и b (b а) (Рис. 2). Проведем из начала координат произвольный луч под углом t к оси Ох и отметим точки М1 (х1; у1) и М2 (х2; у2) его пересечения с обеими окружностями. По уравнениям (3) имеем из ОМ1А
где х1 = ОА, у1 = АМ1; b = ОМ1 Из ОМ2В следует
|
,
,где х2 = ОВ, у2 = ВМ2.
Через точку М1 проведем прямую, параллельную оси Ох, а через точку М2 – прямую параллельную оси Оу. Эти прямые пересекаются в некоторой точке М (х; у). Точка М имеет общую абсциссу с точкой М2 и общую ординату с точкой М1, поэтому
(4)
Когда луч ОМ2 вращается вокруг начала координат (т.е. угол t изменяется от 0 до 2), точка М описывает некоторую кривую (4). Покажем, что эта кривая – эллипс с полуосями а и b. Для этого перепишем уравнения (4) в виде
,
откуда, возведя в квадрат каждое из равенств и складывая результаты, получим уравнение кривой в декартовых координатах
каноническое уравнение эллипса.
Таким образом, уравнение (4) – параметрические уравнения эллипса. Геометрический смысл параметра t очевиден из построения.
Циклоида. Познакомимся с важной кривой – циклоидой, представляющей хороший пример параметрического задания линии.
О
пределение.
Циклоидой называется линия, описываемая
точкой окружности, если эта окружность
катится без скольжения по прямой (Рис.
3)
Рис. 3.
Предположим, что точка М, катящейся окружности по оси Ох, в начале движения совпадала с началом координат. Определим координаты точки М после того, как окружность повернулась на угол t. Обозначим через а радиус катящейся окружности. Как видно из (Рис.3)
х = ОР = ОВ – РВ,
но так как окружность катится без скольжения, то
ОВ = МВ = аt, РВ = МК = а sin t.
Следовательно, х = аt – а sin t = а (t – sin t). Далее,
у = МР = КВ = СВ – СК = а – а cos t = а (1 – cos t)
Уравнения
(0
t
2) (5)
являются параметрическими уравнениями циклоиды.
Параметр t можно менять от до +. Ближайшая к началу координат и лежащая правее его точка пересечения циклоиды с осью Ох отвечает значению t = 2, ибо она получается после одного полного оборота катящейся окружности. Для этого t будет х = 2а. Кроме того, из уравнений (5) видно, что наивысшая точка А циклоиды, отвечающая t = , имеет координаты (а; 2а).
Отметим, что выразить у как элементарную функцию х вообще нельзя, а х через у можно, т.к.
.
Но полученная формула будет очень громоздка
.
Параметрические уравнения, как мы видим, проще.
Астроида. Определение. Астроидой называется кривая, заданная следующими параметрическими уравнениями:
(0
t
2) (6)
Возведя все члены обоих уравнений в степень 2/3 и складывая, получим зависимость между х и у:
или 
Рис. 4. |
Астроида имеет форму, изображенную на (Рис. 4). Кривая может быть получена как траектория некоторой точки окружности радиуса а/4, катящейся без скольжения по другой окружности радиуса а, причем меньшая окружность все время остается внутри большей.
Замечание. С кривыми, уравнения которых выведены в параметрической форме, Вы встретитесь в теме «Геометрические приложения определенного интеграла», решая задачи: найти длину кривой, площадь, |
ограниченную кривой, объем тела, полученного при вращении кривой вокруг некоторой оси
и т.д.
Если в параметрическом задании функции (2) уравнение х = (t) решается относительно t, т.е. t = Ф (х), то параметрическое задание функции можно свести к явному:
у = Ф (х) = f (х).
Но и не решая первое из уравнений (2) относительно t, мы можем все же рассматривать у как функцию от х, заданную через посредство вспомогательной переменной t.
Предположим, что функция х = (t) и у = (t) имеют производные, причем (t) 0 на некотором промежутке , . Кроме того, для функции х = (t) существует обратная функция
t = Ф (х), имеющая конечную производную Ф (х). Тогда, применяя правило дифференцирования сложной функции, находим
ух = уt tх = t (t) Фx (х),
здесь t – промежуточный аргумент.
На основании теоремы о дифференцировании обратной функции следует:
Тогда
или
(7)
Если воспользоваться обозначениями Лейбница, то формуле (7) можно придать вид очевидного равенства:
Функции, заданные параметрически, и их производные (5.3).
Часто бывает удобнее пользоваться уравнением кривой в особой форме, называемой параметрической, где текущие координаты х и у выражены в зависимости от некоторой вспомогательной переменной величины t, называемой параметром:
(2)
Смысл параметра t может быть самый разнообразный: время, угол и т.д. Параметр t должен изменяться в таком промежутке, чтобы при изменении его в этом промежутке, точка с координатами (х, у) описывала всю кривую или ее рассматриваемую часть.
В теоретической механике уравнения (2) называются уравнениями движения точки. Если из этих уравнений исключить t, то получим уравнение траектории движущейся точки в виде у = f (х).
Производная функции
,
заданной параметрически, вычисляется по формуле
(7)
5.3. Функции, заданные параметрически, и их производные (адрес файла Блок 4 ___ ). Часто бывает удобнее пользоваться уравнением кривой в особой форме, называемой параметрической, где текущие координаты х и у выражены в зависимости от некоторой вспомогательной переменной величины t, называемой параметром:
Смысл параметра t может быть самый разнообразный: время, угол и т.д. Параметр t должен изменяться в таком промежутке, чтобы при изменении его в этом промежутке, точка с координатами (х, у) описывала всю кривую или ее рассматриваемую часть. В теоретической механике эти уравнения называются уравнениями движения точки. Если из этих уравнений исключить t, то получим уравнение траектории движущейся точки в виде у = f (х). Производная функции , заданной параметрически, вычисляется по формуле
Вернитесь к тексту |
Решим задачи на применение формулы (7).
Задача 6. Найти производные функций, заданных параметрически:
1)
; 2)
; 3)
.
Решение. 1) Применяя формулу (7), получим:
;
2)
;
3) Найдем хt и уt и полученные значения подставим в формулу (7):
;
;
Тогда
.