§ 2. Производные функций, заданных неявно.

Напоминаем, что если независимая переменная х и функция у связаны уравнением вида

F (х; у) = 0,

которое не разрешено относительно у, то у называется неявной функцией х.

Несмотря на то, что уравнение F (х; у) = 0 не разрешено относительно у, оказывается возможным найти производную от у по х.

На примерах рассмотрим прием для нахождения производной в случае, когда функция задана неявно. Прием этот состоит в том, что обе части уравнения F (х; у) = 0 дифференцируются по х с учетом, что у есть функция х, (х = 1, у (х) = у) и из полученного уравнения определяется у.

Задача 6. Найти производные от функций, заданных неявно:

1) 2х – у + 8 = 0; 2) х² + у² – 16 = 0;

3) х² у² + cos 2y = sin 3х; 4) х^у = у^х.

Решение. 1) Помним, что х = 1, (у) = у, тогда

(2х – у + 8) = 0  2 – у = 0  у = 2.

2) (х² + у² – 16) = 0, 2х + 2у  у = 0  у = х/у;

Здесь при дифференцировании у² по х получается (у²) = 2у  у. Производная правой части равна 0.

3) Применяя известные правила дифференцирования суммы, произведения и формулу производной степенной функции, получим, учитывая, что (cos u) = sin u  и, (sin u) = cos u  и:

(х²  у² + cos 2у) = (sin 3х)

2х  у² + 2х²у  у  sin 2у  2у = 3 cos 3х.

Члены, содержащие у, оставим в левой части, члены, не содержащие у, перенесем в правую часть:

2х²  у  у  2 sin 2у  2у = 3 cos 3х – 2 ху²

Вынесем у за скобки:

у (2х²  у  2 sin 2у) = 3 cos 3х – 2 ху², отсюда

.

4) Предварительно прологарифмируем обе части равенства по основанию е

у ln x = x ln y.

Дифференцируем левую и правую части равенства, рассматривая у как функцию от х.

(у ln x) = (x ln y);

.

В левой части запишем слагаемые, содержащие у, в правой – свободные от у

.

Производные функций, заданных неявно (5.2).

Если дифференцируемая функция у = у (х) задана неявно уравнением F (х; у) = 0, то для нахождения производной у следует, считая у функцией х, продифференцировать обе части тождества F х, у (х) = 0, а затем разрешить полученное соотношение относительно искомой производной у.

5.2. Производные функций, заданных неявно (адрес файла Блок 4 ____ ). Если дифференцируемая функция у = у (х) задана неявно уравнением F (х; у) = 0, то для нахождения производной у следует, считая у функцией х, продифференцировать обе части тождества F х, у (х) = 0, а затем разрешить полученное соотношение относительно искомой производной у. Вернитесь к тексту

§ 3. Функции, заданные параметрически, и их производные.

Рассмотрим еще один способ задания функциональной зависимости, имеющий большое применение в математическом анализе и в прикладных науках, в частности, в механике.

Пусть шар меняет свои размеры, обозначим через V объем шара, через S – площадь его поверхности. При изменении размеров шара эти величины изменяются, причем между ними существует функциональная зависимость. Действительно, каждому значению переменной S соответствует одно определенное значение переменной V. И наоборот, каждому значению переменной V соответствует определенное значение переменной S.

Как выразить функциональную зависимость между переменными U и V? Проще всего ввести новую вспомогательную величину – радиус шара R, через которую обе эти переменные выражаются очень просто:

Полученная система и определяет функциональную зависимость между переменными S и V. Для того, чтобы получить непосредственную зависимость между переменными S и V, достаточно из системы исключить вспомогательную переменную R:

.

В общем случае функциональная зависимость между переменными х и у может быть задана системой вида

или (2)

где t – вспомогательная переменная или параметр. Такой способ задания функциональной зависимости называется параметрическим.

Если из системы (2) исключить параметр t, то получим непосредственную зависимость между переменными х и у в явном или неявном виде.

Например, х и у следующим образом зависят от вспомогательной переменной t:

Меняя t, будем получать различные точки (х, у) на плоскости хОу, совокупность которых составит некоторую линию (график данной функции). Так как любое значение t выражается через соответствующее значение х равенством t = х – 1, то для любой точки заданной линии будет у = (х – 1)², и мы получили явное задание функции, графиком которой является парабола.

В теоретической механике закон движения точки на плоскости задается системой

(2)

В то же время уравнения (2) суть параметрические уравнения траектории движения.

Параметрический способ широко применяется в аналитической геометрии для задания уравнений кривых.