ПМ. ДИФОП – 5. ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ.

ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ НЕЯВНО.

ФУНКЦИИ, ЗАДАННЫЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ И ИХ

ПРОИЗВОДНЫЕ. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИХ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ. УРАВНЕНИЯ КАСАТЕЛЬНОЙ И НОРМАЛИ К КРИВОЙ. УГОЛ МЕЖДУ ДВУМЯ КРИВЫМИ.

ПМ. ДИФОП – 5. Ключевые слова и понятия.

1. Логарифмическое дифференцирование. Производная степенно-показательной функции.

2. Производные функций, заданных неявно.

3. Функции, заданные параметрически, и их производные.

4. Гиперболические функции и их дифференцирование.

5. Уравнения касательной и нормали к кривой.

6. Угол между двумя кривыми.

5.1. Входная информация для самопроверки.

Приступая к изучению данной темы, Вам необходимо восстановить в памяти (или восполнить) знания из прошлых периодов обучения:

• из темы «Введение в математический анализ»: понятия функции, заданной неявно (1.15 ПМ. МА – 1);

• из темы «Кривые ІІ порядка»: канонические уравнения эллипса (19.4 ПМ – АГ. 19); гиперболы (21.2 ПМ – АГ. 21);

• из темы «Аналитическая геометрия»: угол между двумя прямыми (12.9 ПМ – АГ. 12);

• из темы «Дифференциальное исчисление функции одной переменной»: геометрический смысл производной (1.3 ПМ. ДИФОП–1); таблица правил дифференцирования и производных основных элементарных функций (2.10 ПМ. ДИФОП–2): правило дифференцирования частного двух функций (1.9 ПМ. ДИФОП–1).

5.2. Содержание темы

5.2.1. Структурно-логическая схема содержания темы

5.2.2. Тематическое содержание.

§ 1. Логарифмическое дифференцирование.

Производная степенно-показательной функции.

Рассмотрим особые случаи дифференцирования. Пусть дана функция

y = log_{sin x} tg x (sin x  0, sin x  1; tg x  0).

Нужно найти производную этой функции. Так как ни одна из выведенных формул дифференцирования здесь непосредственно не применима, мы преобразуем данное равенство, пользуясь определением логарифма:

(sin x)^у = tg x

Это равенство прологарифмируем по основанию е:

у ln sin x = ln tg x

Отсюда

Применяя правило дифференцирования частного двух функций (1.9 ПМ. ДИФОП–1), получим

.

Аналогично дифференцируется любая функция вида

y = log_v u,

где и и v – заданные функции от х.

Напомним, что (и^) =   и^{  1}  и – производная сложной степенной функции.

(а^и) = а^и  ln а  и – производная сложной показательной функции.

Функцию вида у = и (х)^{v (х)} (и (х)  0), содержащую переменную величину как в основании, так и в показателе степени, принято называть степенно-показательной или показательно-степенной функцией. Примером простейшей степенно-показательной функции является функция у = х^х (х  0).

Для нахождения производной такой функции применяют (как в рассмотренном выше примере) так называемое логарифмическое дифференцирование.

Прологарифмировав функцию у = и^v по основанию е, получим

ln у = v  ln и

Возьмем производные по переменной х от левой и правой частей полученного равенства. Производную левой части найдем по формуле

,

в которой роль и (х) будет играть у (х):

.

Производную правой части найдем по формуле для производной произведения:

Приравнивая найденные производные, будем иметь:

Умножая обе части равенства на у = и^v, получим:

(1)

Если полученную формулу записать в виде:

у = и^v  ln и  v + v  и^{v  1}  и, то можно заметить, что первое слагаемое – производная от заданной функции, если ее рассматривать как показательную, второе слагаемое – производная от заданной функции, если ее рассматривать как степенную. Вывод интересный, но на практике удобнее находить производную степенно-показательной функции, применяя логарифмическое дифференцирование.

Найдем производные нескольких степенно-показательных функций.

Задача 1. 1) у = х^х, 2)

Решение. 1) ln у = х ln х.

Дифференцируя обе части равенства, получим:

или у = х^х (ln х + 1).

2)

Запишем функцию в виде

и прологарифмируем ее по основанию е:

Продифференцируем обе части равенства

Задача 2. (sin x 0).

Логарифмируя обе части равенства, получим:

ln у = (cos x)^х  ln sin x (cos x  0)

Первый сомножитель полученного произведения является степенно-показательной функцией, поэтому возникает необходимость повторного логарифмирования:

ln ln у = х ln cos x + ln ln sin x.

Продифференцируем обе части равенства по переменной х:

Умножив обе части равенства на у  ln у, получим:

Заменяя у и ln у их выражениями через х, окончательно будем иметь:

.

Задача 3. 1) у = (3х – 2)⁴ (х + 4)² (5 – 2х)

2)

Решение. Функции не являются степенно-показательными, но предварительное логарифмирование таких функций значительно облегчит нахождение их производных. Применяя правила логарифмирования степени (ln х^п = п ln х), произведения (ln (х  у) = ln х + ln у) и частного (ln х/у = ln х – ln у), будем иметь:

1) ln у = 4 ln (3х – 2) + 2 ln (х + 1) + ln (5 – 2х).

Дифференцируя обе части равенства, получим:

Упростим правую часть равенства:

= 2 (3х – 2)³ (х + 4) (21х² – 9х + 118).

2)

Продифференцируем полученное равенство:

.

Логарифмическое дифференцирование.

Производная степенно-показательной функции (5.1).

Если требуется продифференцировать произведение нескольких функций или дробь, числитель и знаменатель которой содержат произведения, то часто представляется выгодным обе части данного выражения сначала прологарифмировать по основанию е, а потом уже полученное равенство дифференцировать. Этот прием получил название логарифмического дифференцирования. Производная от логарифма функции называется логарифмической производной. Этим приемом удобно пользоваться и при дифференцировании выражений, содержащих корни из дробей. К нему прибегают почти всегда, когда следует продифференцировать функции вида

у = log_v u и у = и^v, где

у = и^v – степенно-показательная функция, причем

(1)

5.1. Логарифмическое дифференцирование. Производная степенно-показательной функции (адрес файла Блок 4 ____ ). Если требуется продифференцировать произведение нескольких функций или дробь, числитель и знаменатель которой содержат произведения, то часто представляется выгодным обе части данного выражения сначала прологарифмировать по основанию е, а потом уже полученное равенство дифференцировать. Этот прием получил название логарифмического дифференцирования. Производная от логарифма функции называется логарифмической производной. Этим приемом удобно пользоваться и при дифференцировании выражений, содержащих корни из дробей. К нему прибегают почти всегда, когда следует продифференцировать функции вида у = logv u и у = иv, где у = иv – степенно-показательная функция, причем Вернитесь к тексту

Выражение «почти всегда» означает, что существуют другие приемы, которыми можно воспользоваться при дифференцировании функции у = log_v u и у = и^v, при условии, что Вы хорошо знаете свойства логарифмов.

Пользуясь формулой перехода от логарифма по одному основанию к логарифмам по другому основанию (например, е), можем получить такой результат:

.

Теперь при дифференцировании можно воспользоваться правилом дифференцирования частного (1.9 ПМ. ДИФОП–1):

, т.е.

.

Задача 4. Найти производную функции

Решение. Преобразуем функцию к виду

Тогда

.

Далее, по основному логарифмическому тождеству степенно-показательную функцию у = и^v, положив а = е, можно представить так:

и по формуле (е^и) = е^и  и получим



та же формула (1).

Задача 5. Найти производную функции у = х^{ctg x}.

Решение. Представим функцию в виде

, тогда

.

Однако, следует заметить, что трудоемкость некоторых преобразований может оказаться существенно сложнее непосредственного применения метода логарифмического дифференцирования.