§ 4. Свойства непрерывных функций.
Сформулируем (без доказательства) некоторые теоремы, касающиеся непрерывной функции на замкнутом интервале.
Теорема 1 (первая теорема Больцано – Коши) (9.14).
Пусть на отрезке а, b определена непрерывная функция f (х), причем на концах отрезка она имеет значения разных знаков. Тогда на а,b найдется по крайней мере одна точка с (асb), в которой функция равна нулю.
9.14. Теорема 1 (первая теорема Больцано – Коши) (адрес файла Блок 4 ___ ). Пусть на отрезке а, b определена непрерывная функция f (х), причем на концах отрезка она имеет значения разных знаков. Тогда на а,b найдется по крайней мере одна точка с (асb), в которой функция равна нулю. Вернитесь к тексту |
Иначе говоря, непрерывная функция при переходе от значений одного знака к значению другого знака проходит и через нулевое значение. Графически это выглядит так:
Следовательно, непрерывная кривая при переходе с одной полуплоскости по отношению к оси Ох на другую непременно пересекает эту ось.
Теорема 2 (первая теорема Больцано – Коши) (9.15).
Пусть на отрезке а, b определена непрерывная функция f (х), принимающая на концах отрезка различные значения, например, f (а) = А, f (b) = В. Тогда, какое бы число С между числами А и В мы ни взяли, на отрезке а, b найдется такая точка (а с b), что f (с) = С.
9.15. Теорема 2 (первая теорема Больцано – Коши) (адрес файла Блок 4 ___ ). Пусть на отрезке а, b определена непрерывная функция f (х), принимающая на концах отрезка различные значения, например, f (а) = А, f (b) = В. Тогда, какое бы число С между числами А и В мы ни взяли, на отрезке а, b найдется такая точка (а с b), что f (с) = С. Вернитесь к тексту |
Иначе говоря, непрерывная функция при переходе от одного значения к другому проходит и все промежуточные числа.
Геометрическая иллюстрация теоремы:
Таким образом, если функция f (х), заданная на промежутке Х, непрерывна на этом промежутке, то совокупность Y ее значений также представляет собой некоторый промежуток.
Теорема 3 (первая теорема Больцано – Коши) (9.16).
Если функция f (х) непрерывна на отрезке а, b, то она ограничена на этом отрезке, то есть существуют такие числа т и М, что для всех х из а, b выполняется неравенство тf (х)М.
9.16. Теорема 3 (первая теорема Больцано – Коши) (адрес файла Блок 4 ____ ). Если функция f (х) непрерывна на отрезке а, b, то она ограничена на этом отрезке, то есть существуют такие числа т и М, что для всех х из а,b выполняется неравенство т f (х) М Вернитесь к тексту |
Геометрическая иллюстрация теоремы:
f (x1) = М, f (x2) = т, f (x2) f (x) f (x1).