§ 3. Точки разрыва функции.

Определение точки разрыва функции (9.11).

Точка х₀ называется точкой разрыва функции f (х), если f (х) в точке х₀ не является непрерывной.

9.11. Определение точки разрыва функции (адрес файла Блок 4 ___ ). Точка х0 называется точкой разрыва функции f (х), если f (х) в точке х0 не является непрерывной. Вернитесь к тексту

Разрывы функций можно классифицировать следующим образом.

Точка разрыва первого рода (9.12).

Если в точке разрыва х₀ существуют конечные односторонние пределы функций, то разрыв функции называется разрывом первого рода.

9.12. Точка разрыва первого рода (адрес файла Блок 4 ____ ). Если в точке разрыва х0 существуют конечные односторонние пределы функций, то разрыв функции называется разрывом первого рода. Вернитесь к тексту

К разрывам первого рода относятся так называемые устранимые разрывы. Именно, если

,

то разрыв устраним в том смысле, что достаточно изменить значение функции в точке х₀, положив , и функция станет непрерывной в точке х₀.

Точка разрыва второго рода (9.13).

Если в точке х₀ функция терпит разрыв, причем хотя бы один из односторонних пределов бесконечен или вовсе не существует, то разрыв функции называется разрывом второго рода.

9.13. Точка разрыва второго рода (адрес файла Блок 4 ____ ). Если в точке х0 функция терпит разрыв, причем хотя бы один из односторонних пределов бесконечен или вовсе не существует, то разрыв функции называется разрывом второго рода. Вернитесь к тексту

Различные случаи разрывов и характера непрерывности функции для наглядности изображены на рисунке.

В точке х₁ функция имеет разрыв первого рода, ток как f (х₁ – 0) = f (х₁)  f (х₁ + 0).

В точке х₂ функция не определена, однако предел функции в этой точке существует и конечен. Приняв этот предел за значение f (х₂), получим функцию, доопределенную и непрерывную в точке х₂.

В точке х₃ функция имеет разрыв второго рода, так как , .

В точке х₄ функция имеет разрыв второго рода. Положение аналогичное точке х₃.

В точке х₅ функция имеет устранимый разрыв, так как существует .

Пример 2. Исследовать на непрерывность и построить схематический график функции

.

Решение. В точке х = 1 функция не существует. Поэтому х = 1 – точка разрыва. Установим характер разрыва, для чего вычислим односторонние пределы функции:

.

.

Как видим, односторонние пределы функции в точке х = 1 существуют, но не равны между собой, f (1 + )  f (1 – ), поэтому в точке х = 1 функция терпит разрыв 1-го рода. Величина скачка функции

.

Заметим, что

,

т.е. при х   график функции асимптотически приближается к оси Ох.

Схематический график функции представлен на рисунке

Пример 3. Исследовать на непрерывность и построить схематический график функции

.

Решение. В точке х = 0 функция не существует. Следовательно, в этой точке нарушено условие непрерывности и х = 0 является точкой разрыва. Для определения характера разрыва найдем односторонние пределы.

.

.

Правосторонний предел функции равен бесконечности, следовательно, х = 0 – точка разрыва 2-го рода.

При х   , т.е. график функции приближается асимптотически к прямой у = 1.

Пример 4. Исследовать на непрерывность и построить схематический график функции

.

Решение. В точке х = 2 функция не определена, тем самым, нарушено условие непрерывности, значит, в точке х = 2 функция терпит разрыв. Чтобы установить характер разрыва, найдем односторонние пределы:

.

Односторонние пределы существуют и равны между собой. Значит, в точке х = 2 имеет место устранимый разрыв. Графиком функции является прямая, на которой отсутствует точка с абсциссой х = 2.

Чтобы устранить разрыв, положим f (2) = 0. Получаем непрерывную функцию

.