§ 2. Действия над непрерывными функциями. Непрерывность элементарных функций.

Докажем сейчас, что если над непрерывными функциями произвести конечное число арифметических действий или операций взятия функции от функции, то в результате получится также непрерывная функция. В каждом случае мы покажем, что предел соответствующей функции будет равен ее значению в предельной точке, а это и означает непрерывность функции.

Теорема о сумме конечного числа непрерывных функций (9.7).

Сумма конечного числа функций, непрерывных в некоторой точке, является функцией, непрерывной в этой же точке.

9.7. Теорема о сумме конечного числа непрерывных функций (адрес файла Блок 4 ___ ). Сумма конечного числа функций, непрерывных в некоторой точке, является функцией, непрерывной в этой же точке. Вернитесь к тексту

Доказательство. Пусть дано конечное число функций и (х), v (x)…w (х), непрерывных в точке х = х₀. Требуется доказать, что их сумма у (х) = и (х) + v (x) +…+ w (х) будет непрерывной функцией в точке х = х₀. Так как слагаемые функции непрерывны, то

, ,…, ,

где и (х₀), v (x₀)…w (х₀) – значения функций и, v,…w в точке х = х₀. В силу теоремы о пределе суммы имеем

.

Следовательно,

,

что и требовалось доказать.

Теорема о произведении конечного числа непрерывных функций (9.8).

Произведение конечного числа функций, непрерывных в некоторой точке, является непрерывной функцией в той же точке.

9.8. Теорема о произведении конечного числа непрерывных функций (адрес файла Блок 4 ___ ). Произведение конечного числа функций, непрерывных в некоторой точке, является непрерывной функцией в той же точке. Вернитесь к тексту

Доказательство аналогичное предыдущему, т.е. нужно показать, что

.

Теорема о частном двух непрерывных функций (9.9).

Частные двух функций, непрерывных в некоторой точке, является функцией, непрерывной в той же точке, если только знаменатель не обращается в ней в нуль.

9.9. Теорема о частном двух непрерывных функций (адрес файла Блок 4 ___ ). Частные двух функций, непрерывных в некоторой точке, является функцией, непрерывной в той же точке, если только знаменатель не обращается в ней в нуль. Вернитесь к тексту

Если

,

то

.

Теорема о непрерывности сложной функции (9.10).

Сложная функция, составленная из конечного числа непрерывных функций, непрерывна.

9.10. Теорема о непрерывности сложной функции (адрес файла Блок 4 ___ ). Сложная функция, составленная из конечного числа непрерывных функций, непрерывна. Вернитесь к тексту

Пусть y = f (z), а z =  (х), т.е. у = f ( (х)) = F (х), причем  (х) непрерывна при х = х₀, а f (z) непрерывна при z = z₀, где z₀ =  (х₀). Утверждение теоремы состоит в том, что у, как функция х, т.е. F (х), непрерывна при х = х₀. Действительно, пусть х  х₀. Из непрерывности функции z=(х) следует, что при этом , т.е. что z  z₀. Так как f (z) непрерывна в т. z₀, то . Но ведь z =  (х) и с учетом только что сказанного последнему равенству можно придать вид

или в другой записи

что и требовалось доказать.

Следует отметить, что все элементарные функции непрерывны в областях их существования. И на основании теорем о непрерывности суммы, разности, произведения и частного можно утверждать, что функции, получаемые из них при помощи конечного числа арифметических действий, являются также непрерывными функциями в областях их существования.