§ 10. Эволюта и эвольвента.

С изменением положения точки М (х, у) на кривой меняется и положение точки С (; ).

Определение 3. Геометрическое место центров кривизны данной линии называется эволютой этой линии. Сама линия называется эвольвентой своей эволюты. (В переводе с греческого эвольвента – развертка, эволюта - развертывающаяся).

Очевидно, что прямая не имеет эволюты, а эволютой окружности является точка – ее центр. Если данная кривая задана уравнением у = f (х), то уравнения (12)

можно рассматривать как параметрические уравнения эволюты с параметром х. Если возможно исключить параметр х, то можно получить непосредственную зависимость между текущими координатами эволюты  и .

Если же кривая задана параметрическими уравнениями х = х (t), у = у (t), то уравнения

дают параметрические уравнения эволюты, так как величины х, у, у, х, у, х являются функциями от t.

Пример. Найти уравнения эволюты параболы у² = 2рх.

Решение. (х  0, у  0).

; .

Тогда, применяя формулы (11.9), получим

 = 3х + р.

.

Параметрические уравнения эволюты параболы примут вид:

Рис. 8.

Исключим из этих уравнений параметр х. Из первого уравнения следует, что . Второе уравнение запишется так: Возведем обе части полученного уравнения в квадрат . В уравнении эволюты  и  текущие координаты. Обозначая их, как обычно,

через х и у, получим

.

Это полукубическая парабола, вершина которой находится в точке (р, 0) (рис. 8).

Эволюта и эвольвента (11.10).

Геометрическое место центров кривизны данной кривой называется ее эволютой. По отношению к своей эволюте исходная кривая называется эвольвентой. Формулы (12), определяющие положение центра кривизны кривой, можно рассматривать как параметрические уравнения эволюты, причем параметром эволюты служит абсцисса х эвольвенты.

11.10. Эволюта и эвольвента (адрес файла Блок 4 ___ ). Геометрическое место центров кривизны данной кривой называется ее эволютой. По отношению к своей эволюте исходная кривая называется эвольвентой. Формулы определяющие положение центра кривизны кривой, можно рассматривать как параметрические уравнения эволюты, причем параметром эволюты служит абсцисса х эвольвенты. Вернитесь к тексту

11.3. Критерии усвоения.

После изучения и анализа содержания темы, Вы должны понимать следующее:

• формула Тейлора является уникальной для представления основных элементарных функций в виде многочлена по степеням разности (х – а);

• формула Маклорена, получающаяся из формулы Тейлора при а = 0, позволяет представить функции е^х, sin x, cos x, ln (1 + х), (1 + х)^ в виде «знакомого» нам многочлена по степеням х;

• формула Маклорена дает возможность заменить функцию у = f (х) многочленом у = Р_п (х) с соответствующей степенью точности, равной значению остаточного члена R_{п + 1} (х);

• важной характеристикой кривых линий является их кривизна. Кривизна линии – это мера степени изогнутости этой линии.

В результате изучения данной темы Вы должны знать:

• вывод формулы Тейлора;

• остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа;

• разложения в ряд Маклорена основных элементарных функций у = sin x, у = cos x, у = е^х, у = ln (1 + х), у = (1 + х)^;

• определение кривизны в точке;

• определения радиуса, круга, центра кривизны;

• определения эволюты и эвольвенты;

• особо важное значение имеет эвольвента окружности, так как профили подавляющего большинства зубьев и зубчатых колес очерчены с боков дугами этой эвольвенты.

Ваши знания должны обеспечивать следующие умения:

• разложить заданную функцию по формуле Тейлора или Маклорена;

• пользуясь разложением функции в ряд Маклорена, найти значение этой функции в указанной точке с заданной точностью;

• заменяя функцию многочленом, оценить допущенную погрешность;

• по заданному уравнению кривой найти кривизну в любой ее точке и радиус кривизны;

• составить уравнение круга кривизны, зная положение центра кривизны;

• найти уравнение эволюты по заданному уравнению эвольвенты.