§ 9. Радиус и круг кривизны. Центр кривизны.

Определение 2. Величина R, обратная кривизне К линии в данной точке М, называется радиусом кривизны этой линии в рассматриваемой точке.

или .

Рис. 5.

Пусть точка М (х, у) (рис. 5) лежит на данной кривой, заданной уравнением у = f (х).

Построим нормаль в точке М к кривой, направленную в сторону вогнутости кривой и отложим на этой нормали отрезок МС, равный радиусу R кривизны кривой в точке М. точка С называется центром кривизны данной кривой в точке М, круг радиуса R, с центром в точке С, проходящей через точку М, называется кругом кривизны данной кривой в точке М.

Из определения следует, что в данной точке кривизна кривой и кривизна круга кривизны равны между собой. Выведем формулы, определяющие координаты центра кривизны.

Пусть кривая задана уравнением у = f (х). На кривой возьмем фиксированную точку

М (х, у) (рис. 6) и определим координаты  и  центра кривизны, соответствующие этой точке

Рис. 6.

Напишем уравнение нормали к кривой в точке М.

где Х, У – текущие координаты точки нормали. Так как точка С (; ) лежит на нормали, то ее координаты удовлетворяют написанному уравнению, то есть

Так как СМ = R, то (  х)² + (  у)² = R². Решаем систему уравнений

Подставляя во второе уравнение системы

получим

 .

Из первого уравнения системы следует

а так как

то

, .

Если у  0, то в точке М (х; у) кривая вогнута и, следовательно,   у и потому нужно брать нижние знаки. Учитывая, что в этом случае у = у, формулы координат центра кривизны примут вид

Можно показать, что эти формулы будут справедливы и при у  0.

Радиус и круг кривизны. Центр кривизны (11.9).

Если М (х; у) лежит на кривой у = f (х), где функция f (х) непрерывна, имеет непрерывную вторую производную и точка С (; ) – центр кривизны этой кривой в точке М, то координаты  и  точки С, независимо от знака второй производной, вычисляются по формулам