§ 7. Вычисление кривизны линии, заданной параметрически.

Кривая может быть задана параметрическими уравнениями. Выясним, какой вид примет формула (9).

Вычисление кривизны линии, заданной параметрически (11.7).

Пусть х = х (t), у = у (t)  параметрические уравнения кривой, где х (t) и у (t)  дважды дифференцируемые функции на некотором отрезке изменения t. Кроме того, предположим, что эту кривую на рассматриваемом отрезке изменения t можно записать в виде у = f (х). В этом случае

, .

Формула (9) для вычисления кривизны примет вид

(10)

11.7. Вычисление кривизны линии, заданной параметрически (адрес файла Блок 4 ___ ). Пусть х = х (t), у = у (t)  параметрические уравнения кривой, где х (t) и у (t)  дважды дифференцируемые функции на некотором отрезке изменения t. Кроме того, предположим, что эту кривую на рассматриваемом отрезке изменения t можно записать в виде у = f (х). В этом случае , . Формула для вычисления кривизны примет вид Вернитесь к тексту

Пример. Найти кривизну эллипса

в произвольной его точке.

Решение. Найдем все производные, записанные в формуле (10).

х_t = a sin t, x_tt = a cos t,

y_t = b cos t, y_tt = b sin t.

Воспользуемся формулой (10)

.

§ 8. Вычисление кривизны линии, заданной уравнением в полярных координатах.

Пусть некоторая кривая задана своим уравнением  = f () в полярной системе координат. Известно, что

,

где  =  (). Тогда

представляют собой параметрические уравнения данной кривой (  параметр). Найдем нужные производные от х и у по .

x_ =  () cos    () sin 

x_ =  () cos   2  () sin    () cos 

y_ =  () sin  +  () cos 

y_ =  () sin  + 2  () cos   r () sin 

Учитывая найденные равенства, будем иметь

= ² () cos²   2  () () cos   sin  + ² () sin²  +

+ ² ()sin²  + 2  ()  () sin  cos  + ² () sin²  =

= ² () (cos²  + sin² ) + ² () (sin²  + cos² ),

Аналогично получим

у_  х_  х_  у_ = ² + 2²  .

Подставляя полученные результаты в формулу (11.7), окончательно будем иметь

.

Вычисление кривизны линии, заданной уравнением в полярных координатах (11.8).

Если некоторая кривая задана в полярных координатах уравнением вида

 = f () ( =  ()),

где функция f () непрерывна, имеет непрерывные производные первого и второго порядка, то кривизна в любой точке этой кривой вычисляется по формуле

(11)

11.8. Вычисление кривизны линии, заданной уравнением в полярных координатах (адрес файла Блок 4 ___ ). Если некоторая кривая задана в полярных координатах уравнением вида  = f () ( =  ()), где функция f () непрерывна, имеет непрерывные производные первого и второго порядка, то кривизна в любой точке этой кривой вычисляется по формуле Вернитесь к тексту

Пример. Найти кривизну кривой  = е^.

Решение. Воспользуемся формулой (11), учитывая, что _ = _ = е^. Получим

.