§ 2. Формула Маклорена.
Формула Маклорена (11.2).
Если в формуле Тейлора положить а = 0, то она запишется в виде
,
(6)
где 0 1. Этот частный случай формулы Тейлора называют формулой Маклорена.
11.2. Формула Маклорена (адрес файла Блок 4 ____ ). Если в формуле Тейлора положить а = 0, то она запишется в виде , где 0 1. Этот частный случай формулы Тейлора называют формулой Маклорена. Вернитесь к тексту |
§ 3. Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена.
Разложение функции f (х) = ех.
Найдем последовательно производные f (х), f (х),…, f (п)(х) от f (х) и вычислим значения f (х) и ее производных в точке х = 0.
f (х) = ех, f (0) = 1
f (х) = ех, f (0) = 1
………………………………..
f (п)(х) = ех, f (п)(0) = 1
Подставим полученные значения в формулу Маклорена (6).
,
0
1
Разложение функции f (x) = sin x.
Поступаем аналогично.
f (x) = sin x, f (0) = 0
, f
(0) = 1
, f
(0) = 0
, f
(0) = 1
, f
IV
(0) = 0
…………………………………………………
, 
, 
0
1
Подставляя полученные значения в формулу Маклорена, получим разложение функции
f (x) = sin x.
.
Так как
, 
формула Маклорена имеет вид
,
где
, 0
1.
Так как
,
то
при всех значениях х.
Разложение функции f (x) = соs x.
Рекомендуем Вам, уважаемый студент, самому найти следующее разложение соs x по степени х, поступая аналогично предыдущему примеру:
,
где
, 0
1.
Функция f (x) = соs x ограничена, т.е.
,
то
при
всех значениях х.
Замечание. k = 0, 1, 2, …, 0! = 1.
Разложение функции f (x) = ln (1 + х).
Найдем значения функции и ее последовательных производных в точке х = 0:
f (x) = ln (1 + х), f (0) = 0
, f
(0) = 1
, f
(0) = 1
, f
(0) = 2!
, f
IV
(0) = 3!
…………………………………………………
, f
(п)
(0) = (1)п1
(п
– 1)!
Учитывая полученные значения, запишем разложение функции f (x) = ln (1 + х) по формуле Маклорена.
Здесь
, 0
1.
Разложение функции f (x) = (1 + х), где действительное число. Так как
f (x) = (1 + х), f (0) = 1
f (x) = (1 + х)1, f (0) =
f (x) = ( 1) (1 + х)2, f (0) = ( 1)
f (x) = ( 1) ( 2) (1 + х)3, f (0) = ( 1) ( 2)
………………………………………………………………………....................
f (п) (х) = ( 1) ( 2)…( п + 1) (1 + х)п, f (п) (0) = ( 1) ( 2)…( п + 1),
то формула Маклорена имеет вид
,
где остаточный член в форме Лагранжа равен
, 0
1.
В частном случае, когда = п – натуральное число, f (п+1) (х) = 0, следовательно Rп+1 (х) = 0, мы получаем известную формулу бинома Ньютона
.
Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена (11.3).
Наиболее простой элементарной функцией является многочлен. Над многочленами удобно выполнять арифметические действия, нетрудно вычислить значения многочлена в любой точке, легко дифференцировать.
Если функция f (х) (п + 1) раз дифференцируема в некотором замкнутом интервале, содержащем точку х = 0, то она с определенной степенью точности может быть представлена в виде многочлена п-й степени и некоторого остатка Rп+1 (х).
Разложение
некоторых элементарных функций в
окрестности точки х
= 0.
, 0 1, (п = 0, 1, 2 …)
, (k
= 0, 1, 2 …)
где
, 0
1,
, (k
= 0, 1, 2 …)
где , 0 1 (7)
, (п
= 1, 2, 3,…)
Здесь
, 0
1
,
где остаточный член в форме Лагранжа равен
, 0 1.
11.3. Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена (адрес файла Блок 4 ___ ). Наиболее простой элементарной функцией является многочлен. Над многочленами удобно выполнять арифметические действия, нетрудно вычислить значения многочлена в любой точке, легко дифференцировать. Если функция f (х) (п + 1) раз дифференцируема в некотором замкнутом интервале, содержащем точку х = 0, то она с определенной степенью точности может быть представлена в виде многочлена п-й степени и некоторого остатка Rп+1 (х). Р , 0 1, (п = 0, 1, 2 …) , (k = 0, 1, 2 …) где , 0 1, , (k = 0, 1, 2 …) где , 0 1 , (п = 1, 2, 3,…) Здесь , 0 1 , где остаточный член в форме Лагранжа равен , 0 1. Вернитесь к тексту |
азложение
некоторых элементарных функций в
окрестности точки х
= 0.