ПМ. ДИФОП – 11. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА. КРИВИЗНА КРИВОЙ.

ПМ. ДИФОП – 11. Ключевые слова и понятия.

11.1. Формула Тейлора.

11.2. Формула Маклорена.

11.3. Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена.

11.4. Применение формулы Маклорена при вычислении значений некоторых функций.

11.5. Средняя и истинная кривизна плоской кривой.

11.6. Вычисление кривизны линии, заданной уравнением у = f (х).

11.7. Вычисление кривизны линии, заданной параметрически.

11.8. Вычисление кривизны линии, заданной уравнением в полярных координатах.

11.9. Радиус и круг кривизны. Центр кривизны.

11.10. Эволюта и эвольвента.

11.1. Входная информация для самоконтроля.

Приступая к изучению данной темы, Вам необходимо восстановить в памяти (или восполнить) знания из прошлых периодов обучения: таблица правил дифференцирования и производных основных элементарных функций (2.10 ПМ. ДИФОП – 2); функции, заданные параметрически, и их производные (5.3 ПМ. ДИФОП – 5); производные высших порядков от функций, заданных явно (7.6 ВМ. ДИФОП – 7); производные высших порядков от функций, заданных параметрически (7.9 ВМ. ДИФОП – 7)

11.2. Содержание темы

11.2.1. Структурно-логическая схема содержания темы

11.2.2. Тематическое содержание.

Вспомним определение функции: «Переменная величина у является функцией другой переменной величины х, если каждому значению х соответствует определенное значение у». В этом определении совершенно не говорится о том, при помощи каких средств находятся те значения у, которые соответствуют заданным значениям х. В тех случаях, когда есть вычислительная формула, вроде формулы у = х³ + 1 или

,

вопрос ясен. Однако в более сложных случаях дело обстоит не так. Например, равенство у = sin x для человека, знающего только школьный курс тригонометрии, не является вычислительной формулой. То же относится к равенствам y = arctg x, y = ln x и т.п.

Все сказанное приводит к важной задаче создания вычислительных средств, позволяющих находить значения функции по значениям аргумента. Формула Тейлора представляет собой одно из возможных решений этой задачи.

§ 1. Формула Тейлора.

Формула Тейлора дает возможность приближенно представить произвольную функцию f (х), (п + 1) раз дифференцируемую в окрестности некоторой точки х=а, в виде многочлена Р_п (х) п-ой степени относительно разности х – а, называемого многочленом Тейлора, и дать оценку погрешности этого приближения.

В силу этого формула Тейлора, помимо большого числа ее теоретических применений, является основой приближенных вычислений математического анализа, поскольку многочлен, приближенно представляющий функцию f (х) общего вида, является выражением, числовые значения которого всегда и легко вычислимы. Формула Тейлора есть одна из важнейших формул всего математического анализа.

Начнем со случая, когда f (х) есть многочлен п-ой степени относительно х:

f (х) = а₀ + а₁х + а₂х² + … + а_пх^п (1)

Поставим задачу преобразовать этот многочлен в многочлен той же п-ой степени относительно разности х – а, где а – произвольное число, т.е. получить точное равенство

f (х) = А₀ + А₁ (х – а) + А₂ (х – а)² + … + А_п (х – а)^п (2)

П родифференцируем это равенство п раз. Получим

f  (х) = А₁ + 2А₂ (х – а) + 3А₃ (х – а)² + … + пА_п (х – а)^п1

f  (х) = 2А₂ + 32А₃ (х – а) + … + п (п – 1) А_п (х – а)^п2

f  (х) = 321А₃ + … + п (п – 1) (п – 2) А_п (х – а)^п3

…………………………………………………………………… (3)

f ^(п)(х) = п (п – 1) (п – 2) (п – 3)… 321А_п

f ^{(п + 1)}(х) = f ^{(п + 2)}(х) = … = 0.

Положив в равенствах (3) х = а, определим все коэффициенты А₀, А₁, А₂,…, А_п

А₀ = f (а), А₁ = f  (а),

, ,…, .

Таким образом, получили искомое разложение многочлена п-ой степени f (х) по степеням разности х – а:

(4)

Формула (4) называется формулой Тейлора для многочлена п-ой степени, а коэффициенты многочлена в правой части этой формулы

f  (а), , ,…,

называются коэффициентами Тейлора.

Пример. Разложить многочлен f (х) = 1 + 2х – х² + х³ по степени разности х – 1.

Найдем последовательно f (1) = 1 + 2 – 1 + 1 = 3;

f  (х) = (1 + 2х – х² + х³) = 2 – 2х + 3х², f  (1) = 2 – 2 + 3 = 3;

f  (х) = (2 – 2х + 3х²) = 2 + 6х, f  (1) = 2 + 6 = 4;

f  (х) = (2 + 6х) = 6, f  (1) = 6.

Поэтому f (х) = 3 + 3 (х - 1) + 2 (х – 1)² + (х – 1)³

Пусть теперь f (х) есть произвольная функция, (п + 1) раз дифференцируемая в окрестности точки х = а.

Составим многочлен Тейлора п-ой степени Р_п (х) для функции f (х), т.е. многочлен п-ой степени относительно разности х – а, коэффициентами которого являются коэффициенты Тейлора, т.е. выражения

f  (а), , ,…, .

Таким образом

.

Рис. 1.

Обозначим через Rп+1 (х) разность значений данной функции f (х) и построенного многочлена Рп (х) (Рис. 1). Rп+1 (х) = f (х) – Рп (х), откуда f (х) = Рп (х) + Rп+1 (х), или в развернутом виде

R_п+1 (х) называется остаточным членом. Для тех значений х, для которых остаточный член

R_п+1 (х) мал, многочлен Р_п (х) дает приближенное представление функции f (х), т.е. f (х)  Р_п (х).

Формула Тейлора (11.1).

Если функция f (х) (п + 1) раз дифференцируема в окрестности точки х = а, то равенство

(5)

называется формулой Тейлора для функции f (х), R_п+1 (х) называется остаточным членом формулы Тейлора.

11.1. Формула Тейлора (адрес файла Блок 4 ___ ). Если функция f (х) (п + 1) раз дифференцируема в окрестности точки х = а, то равенство называется формулой Тейлора для функции f (х), Rп+1 (х) называется остаточным членом формулы Тейлора. Вернитесь к тексту

Таким образом, формула (5) дает возможность заменить функцию у = f (х) многочленом у = Р_п (х) с соответствующей степенью точности, равной значению остаточного члена R_п+1 (х).

Опуская доказательство, запишем остаточный член в форме Лагранжа

, где а  с  х.

Формулу Тейлора можно записать в виде

.

Точное значение остаточного члена неизвестно, так как мы не знаем точки с. Однако во многих случаях удается оценить остаток R_п+1 (х), установив, чего не превосходит абсолютная величина последнего члена формулы Тейлора. Если оказывается, что остаточный член мал, то, пренебрегая им, получаем приближенную формулу

.

Замечание. Так как значение с удовлетворяет условию а  с  х, то с – а  х – а, или

с – а =  (х – а),

где  есть некоторое число, заключенное между 0 и 1, т.е. 0    1.

Но тогда с = а +  (х – а) и формула остаточного члена примет вид

.