§ 9. Правило дифференцирования частного.

Пусть

,

где u и v – функции аргумента х, имеющие производные u и v. Закрепим точку дифференцирования х, тогда функции u, v и

будут также закреплены. Дадим х приращение  х, в силу чего u, v и у получат соответственно приращения  u,  v и  у. Так как

,

то

Составим отношение

и устремим  х к нулю. Тогда (учитывая, что  v  0) получим

итак

(10)

Правило дифференцирования частного (1.9).

Производная дроби (т.е. частного от деления двух функций) равна дроби, у которой знаменатель есть квадрат знаменателя данной дроби, а числитель есть разность между произведением знаменателя на производную числителя и произведением числителя на производную знаменателя, т.е.

1.9. Правило дифференцирования частного (адрес файла Блок 4 ___ ). Производная дроби (т.е. частного от деления двух функций) равна дроби, у которой знаменатель есть квадрат знаменателя данной дроби, а числитель есть разность между произведением знаменателя на производную числителя и произведением числителя на производную знаменателя, т.е. Вернитесь к тексту

Следует хорошо запомнить следующее: если имеем функцию вида

,

где знаменатель С есть постоянная, то дифференцируя эту функцию, нет необходимости применять формулу (10), а целесообразнее применять формулу (9):

Таким образом,

.

Конечно, этот результат получится и по формуле (10). Если же

,

то формула (10) приводит к результату

Действительно,

1.3. Критерии усвоения.

После изучения и анализа содержания темы, Вы должны понимать следующее:

• в природе все находится в движении, все изменяется. И. Ньютон дал понятие производной, решая задачу о нахождении закона изменения скорости любого движения по данному закону (уравнению) этого движения.

Лейбниц подошел к открытию понятия производной в поисках общего метода построения касательной к любой кривой, заданной своим уравнением;

• задачи о скорости неравномерного движения и о касательной к кривой играют первостепенное теоретическое и прикладное значение: первая – в механике, вторая в геометрии;

• рассмотренные задачи являются частными приложениями производной к конкретным задачам механики и геометрии;

• число таких приложений очень велико и постоянно растет по мере развития естественных наук. Эти приложения охватывают самые разнообразные вопросы геометрии, механики и физики: кривизна линии, линейная и угловая скорость и ускорение, линейная плотность неоднородного стержня, плотность газа, сила электрического тока, теплоемкость вещества и т.д. Все эти величины являются производными от определенных конкретных функций по соответствующему конкретному аргументу.

В результате изучения данной темы Вы должны знать:

• определение производной;

• механический и геометрический смысл производной;

• всякая дифференцируемая функция всегда непрерывна, обратное утверждение не всегда верно;

• наизусть правила дифференцирования суммы, произведения, частного, что поможет вам при решении примеров и задач.

Ваши знания должны обеспечивать следующие умения:

• находить производную функции по определению;

• вычислять частное значение производной f ^/ (х₀) = у₀ и по условию задачи правильно трактовать смысл этого значения (угловой коэффициент касательной, скорость, теплоемкость, плотность и т.д.);

• применять нужное правило при решении конкретного примера.