§ 6. Производная постоянной.

Пусть у = С есть такая функция от х, значения которой при всех х равны С.

Следовательно, при любом значении х

у = f (х) = С.

Дадим аргументу х приращение  х ( х  0). Так как функция у сохраняет значение С при всех значениях аргумента х, то

у +  у = f (х +  х) = С.

Значит, приращение функции равно

 у = f (х +  х)  f (х) = С  С = 0,

отношение приращения функции к приращению аргумента

и, следовательно,

у = с = 0.

Производная постоянной (1.6).

Производная от постоянной равна нулю, т.е. если у = с, то у = 0.

1.6. Производная постоянной (адрес файла Блок 4 ___ ). Производная от постоянной равна нулю, т.е. если у = с, то у = 0. Вернитесь к тексту

Равенство у = 0 имеет простое геометрическое толкование. Графиком функции у = с служит прямая, параллельная оси Ох. Касательная к графику в любой ее точке, очевидно, совпадает с этой прямой и, следовательно, образует с осью Ох угол, тангенс которого у равен нулю.

§ 7. Правило дифференцирования алгебраической суммы.

Пусть у = u  v, где u = u (х), v = v (х) две дифференцируемые функции. Нужно найти у. Закрепим х, при котором вычислим u (х) и v (х). Дадим х приращение  х. Получим новое значение аргумента х +  х. Тогда и функции примут новые значения u +  u, v +  v и

у +  у = (u +  u)  (v +  v),

где  у,  u и  v  приращения функций у, u и v, соответствующие приращению  х аргумента х. Найдем приращение  у

 у = (u +  u)  (v +  v)  (u  v)

Вычитая, находим

 у =  u   v.

Составим отношение

и перейдем к пределу при  х  0,

.

На основании теоремы о пределе алгебраической суммы конечного числа функций (5.14 ПМ – МА.5), получим

.

По определению производной

, , .

Таким образом,

у = u  v. (8)

Формула выведена для алгебраической суммы двух функций, но аналогично можно доказать, что если у = u  v  …  , где u, v, …,   дифференцируемые функции, зависящие от х, то

у = (u  v  …  ) = u  v  …  .

Правило дифференцирования алгебраической суммы (1.7).

Производная алгебраической суммы конечного числа функций равна алгебраической сумме производных этих функций:

(u  v) = u  v

1.7. Правило дифференцирования алгебраической суммы (адрес файла Блок 4 __ ). Производная алгебраической суммы конечного числа функций равна алгебраической сумме производных этих функций: (u  v) = u  v Вернитесь к тексту

§ 8. Правило дифференцирования произведения.

Пусть у = u  v. Нужно найти у. Рассуждая, как и при выводе формулы (8), получим:

у = uv, u (х) и v (х)  дифференцируемые функции.

у +  у = (u +  u) (v +  v),

 у = (u +  u) (v +  v)  uv =  u  v +  v  u +  u   v,

,

Так как u и v не зависят от  х, а предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций (5.14 ПМ – МА.5), то

Рассмотрим последний член в правой части

Так как u (х) – дифференцируемая функция, то она непрерывна и, следовательно, . Кроме того,

Таким образом,

и окончательно получаем

у = uv + vu

или

(uv) = uv + vu (9)

Правила дифференцирования произведения (1.8).

Производная произведения двух дифференцируемых функций равна сумме произведений производной первой функции на вторую и производной второй функции на первую:

(uv) = uv + vu

1.8. Правила дифференцирования произведения (адрес файла Блок 4 __ ). Производная произведения двух дифференцируемых функций равна сумме произведений производной первой функции на вторую и производной второй функции на первую: (uv) = uv + vu Вернитесь к тексту

Рассмотрим важный частный случай дифференцирования, когда один из сомножителей постоянен.

Пусть у = Сu, где С – постоянная величина. Воспользуемся выведенной формулой (9).

у = (Сu) = Сu + uС.

Но так как С = 0, то у = Сu или

(Сu) = Сu

Следует запомнить! Постоянный множитель можно выносить за знак производной.

Применяя формулу (9) можно найти производную функции у = u v , где u, v,   дифференцируемые функции, зависящие от х.

Функцию у = u v  записываем так: у = (uv)  .

Тогда

у = (uv)   +  (uv)

или

у = (uv + vu)   +  uv,

откуда

у = u v + v u +  uv,

т.е.

(uv) = u v + v u +  uv.

Аналогично

(uvz) = uvz + uvz + uvz + uvz

Таким образом, чтобы получить производную произведения любого числа функций, нужно производную первого сомножителя умножить на произведение всех остальных функций, затем производную второго сомножителя – на произведение всех остальных и т.д. до последней функции и полученные произведения сложить.