§ 4. Односторонние производные функции в точке.
Если рассматривать односторонние пределы отношения
при х 0, то по аналогии с определением производной функции в точке х, можно сформулировать определение правой (левой) производной функции f (х) в точке х.
Односторонние производные в точке (1.4).
Правой (левой) производной функции f (х) в точке х называется предел отношения
при х 0, х 0 ( х 0), если этот предел существует и конечен. По определению правая производная функции f (х) в точке х есть число, равное
,
левая производная функции f (х) в точке х есть число, равное
(7)
1.4. Односторонние производные в точке (адрес файла Блок 4 ___ ). Правой (левой) производной функции f (х) в точке х называется предел отношения
при х 0, х 0 ( х 0), если этот предел существует и конечен. По определению правая производная функции f (х) в точке х есть число, равное , левая производная функции f (х) в точке х есть число, равное
Вернитесь к тексту |
Говорят, что функция f (х) имеет производную на интервале (а; b), если она имеет производную в каждой точке этого интервала. Функция f (х) имеет производную на отрезке а; b, если она имеет производную на интервале (а; b) и кроме того, имеет правую производную в точке а и левую производную в точке b.
§ 5. Непрерывность и дифференцируемость функции.
Теорема (необходимое условие существования производной). Если функция f (х) имеет производную в точке х, то она непрерывна в этой точке.
Доказательство. Пусть, функция у = f (х) дифференцируема в точке х0: у0 = f /(х0). Это значит, что
.
Так как переменная величина, имеющая предел, может быть представлена в виде суммы этого предела и бесконечно малой величины (5.13 ПМ – МА.5.), то
, где 
.
Умножим обе части равенства на х:
у = у0 х + х
при
х
0
у
0, т.е.
,
а это и означает, что функция у
= f
(х)
непрерывна в точке х0
что и требовалось доказать.
Однако непрерывность функции в точке не является достаточным условием дифференцируемости функции в этой точке. Функция может быть непрерывной в точке х0, но не быть в ней дифференцируемой.
Например, у = х непрерывная функция при х = 0 (рис. 5).
Рис. 5. |
Дадим х = 0 приращение х. Функция у = х получит приращение у = х При этом
И, следовательно, предел отношения
при х 0 не существует. (В определении |
.производной приращение х стремится к нулю любым способом). В точке х = 0 не существует касательной к графику функции у = х.
Заметим, что функция у = х в точке х = 0 имеет правую и левую производные.
Действительно,
правая
производная,
левая
производная.
В точке х = 0 существуют правая и левая касательные к графику функции у = х. В этом случае точка х = 0 называется угловой точкой графика функции у = х. Отметим еще, что в определении производной речь идет о конечном пределе отношения
п
ри
х
0. Если этот предел бесконечен, то говорят,
что производная не существует.
Геометрически мы имеем здесь случай
вертикальной касательной (рис. 6).
Рис. 6. |
В точках х0, х1, х2 функция непрерывна, но не дифференцируема f / (х0) = f / (х1) = f / (х2) = |
Непрерывность и дифференцируемость функции (1.5).
Все дифференцируемые функции обязательно непрерывны, но не все непрерывные функции дифференцируемы.
1.5. Непрерывность и дифференцируемость функции (адрес файла Блок 4 __ ). Все дифференцируемые функции обязательно непрерывны, но не все непрерывные функции дифференцируемы. Вернитесь к тексту |