§ 2. Определение производной.

Выражения (1), (2), (3), (4) с математической точки зрения имеют одинаковую структуру и дают основание для следующего определения. По аналогии со скоростью неравномерного движения введем понятие скорости изменения функции.

Пусть дана функция у = f (х). Дадим аргументу х приращение  х. Тогда функция у получит приращение

 у = f (х +  х)  f (х).

Отношение

называется средней скоростью изменения функции.

Предел средней скорости при  х  0 называется скоростью изменения функции

Этот предел называется производной функции f (х) и обозначается у или f  (х) или

, т.е.

Определение производной (1.2).

Производной у или f ^/(х) данной функции у = f (х) называется предел отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента, при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, т.е.

(5)

1.2. Определение производной (адрес файла Блок 4 __ ). Производной у или f /(х) данной функции у = f (х) называется предел отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента, при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, т.е. Вернитесь к тексту

К понятию производной приходится обращаться при решении целого ряда задач физики, механики, геометрии, связанных с изучением скорости некоторого процесса.

Производную определяют по следующему правилу:

1. Вычисляют значение функции в некоторой точке х

у = f (х).

2. Дают аргументу х приращение  х. Получают новое значение аргумента х +  х. Вычисляют новое значение функции в точке х +  х: f (х +  х).

3. Находят приращение функции  у

 у = f (х +  х)  f (х)

4. Составляют отношение приращения функции к приращению аргумента

5. Находят предел:

Пример. Найти производную функции (х  0).

1. Закрепим значение аргумента х и найдем значение функции у = f (х), т.е. .

2. Дадим аргументу х приращение  х, новое значение аргумента х +  х, вычислим

.

3. Найдем приращение функции .

4. Найдем отношение

.

5. Вычислим

. Итак .

Замечания.

1. Обозначение производной у было введено Лагранжем (1736-1813).

Лейбниц обозначил производную

.

2. Действие нахождения производной какой–нибудь функции называется дифференцированием этой функции.

3. То значение аргумента х, которое закрепляется на первом шагу при нахождении производной, называется точкой дифференцирования.

4. Так как не всякая переменная имеет предел, то и не всякая функция имеет производную. Если функция при некотором х имеет производную, то говорят, что функция при этом значении дифференцируема.

5. Механический смысл производной: скорость неравномерного движения: V = S . Скорость неравномерного движения есть производная пути по времени.

§ 3. Геометрический смысл производной.

Рис. 3.

Пусть дана функция у = f (х) и ее график. Нужно провести касательную к графику функции в точке М0. Для этого проведем произвольную секущую через точки М0 и М: М0М (рис. 3). Точку М вдоль кривой приближаем к точке М0. Секущая М0М при этом поворачивается около точки М0. Когда точка М совпадает с точкой М0, секущая М0М займет предельное положение М0Т, которая и называется касательной к кривой в точке М0.

Определение. Касательной к кривой в данной точке М₀ называется предельное положение М₀Т секущей М₀М, когда точка М вдоль по кривой неограниченно приближается к точке М₀.

Найдем угловой коэффициент касательной М₀Т

Рис. 1.4.

Рассмотрим  ММ0N (рис. 1.4). МN =  у = f (х0 +  х)  f (х0) М0N =  х, , т.е. Пусть точка М, двигаясь по кривой, приближается к точке М0. При этом  х  0,     , tg   tg .

Поэтому для определения углового коэффициента касательной приходим к равенству

Таким образом,

k = f ^/(х) (x₀). (6)

Геометрический смысл производной (1.3).

Производная у = f ^/(х) геометрически представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функции, проведенной в точке, абсцисса которой есть точка дифференцирования.

Другими словами, если функция у = f (х) имеет в точке х₀ производную, то существует касательная к графику функция у = f (х) в точке М₀ (х₀; f (х₀)), причем угловой коэффициент этой касательной (т.е. тангенс угла наклона ее к оси Ох) равен производной f ^/(х₀). Уравнение касательной М₀Т: у  у₀ = f ^/(х₀) (х  х₀).

1.3. Геометрический смысл производной (адрес файла Блок 4 ___ ). Производная у = f /(х) геометрически представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функции, проведенной в точке, абсцисса которой есть точка дифференцирования. Другими словами, если функция у = f (х) имеет в точке х0 производную, то существует касательная к графику функция у = f (х) в точке М0 (х0; f (х0)), причем угловой коэффициент этой касательной (т.е. тангенс угла наклона ее к оси Ох) равен производной f /(х0). Уравнение касательной М0Т: у  у0 = f /(х0) (х  х0). Вернитесь к тексту