§ 4. Второй замечательный предел.

В разделе ВМ. МА – 3 была сформулирована теорема о том, что монотонная ограниченная последовательность имеет предел (п. 3.12).

Применим эту теорему к доказательству существования важного предела, который часто называется вторым замечательным пределом.

Второй замечательный предел (5.16).

Функция имеет предел при п   и он равен е, то есть .

5.16. Второй замечательный предел (адрес файла Блок 4 ___ ). Функция имеет предел при п   и он равен е, то есть . Вернитесь к тексту

Доказательство. ПО формуле бинома Ньютона имеем

С увеличением п каждое слагаемое (кроме первых двух), стоящее на фиксированном k-ом месте, увеличивается. Действительно,

ставится больше с ростом п. Кроме того, при возрастании п добавляются новые положительные слагаемые. Следовательно, у_п – возрастающая функция. Но она ограничена. Действительно, заменив во всех членах правильные дроби, стоящие в скобках, единицами, мы получим:

Мы еще больше увеличим правую часть, если произведем такие замены

на

на

…………………………………………………

на

Следовательно,

.

Но в скобках записана сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии, которая равна 2, то

у_п  3.

Следовательно, данная возрастающая последовательность ограничена сверху, а значит, на основании выше упомянутой теоремы имеет предел, которой заключен между 2 и 3

2  у_п  3. Этот предел называется числом е, то есть

.

Число е иррациональное и поэтому не может быть точно выражено какой-нибудь конечной дробью. Приближенно оно равно

е  2,718281828459045

Логарифм числа по основанию е называется натуральным логарифмом и обозначают его ln x.

Покажем, что

х  (0; +).

Для каждого х  (0; +) существует натуральное число п такое, что п  п + 1. Тогда

.

Прибавим единицу ко всем членам неравенства

,

тогда

.

Но

.

Значит

.

Выполнив замену , где t  0, получим

.

Обращаем Ваше внимание на тот факт, что второй замечательной предел раскрывает неопределенность вида (1^).

Пример 7. Найти

.

Решение. При х   выражение в скобках стремится к единице, так как 2/3х – бесконечно малая величина и ее предел равен нулю, а показатель стремится к бесконечности, то есть имеем неопределенность вида (1^). Число е мы получим в том случае, если показатель будет обратным по отношению ко второму слагаемому, то есть 3х/2.

.

Пример 8. Найти

.

Решение. При х   дробь

стремится к единице, а показатель к бесконечности, то есть имеем неопределенность вида (1^). Преобразуем выражение в скобках

Тогда

.

Тогда второе слагаемое

стремится к нулю при х  . Далее получаем

.

Пример 9. Найти

.

Решение. При х  0 второе слагаемое стремится к нулю, а показатель

стремится к бесконечности. Имеем неопределенность вида (1^). Тогда

.

5.3. Критерии усвоения.

После изучения и анализа содержания темы Вы должны понимать следующее:

• определение предела функции в точке «на языке последовательностей» и «на    языке»;

• определение бесконечно большого аргумента;

• определение предела функции при х   «на языке последовательностей» и «на    языке»;

• определение бесконечно большой и бесконечно малой величин, их связь;

• что такое ограниченная функция в данном интервале и при х  х₀;

• теорему о функции, имеющей предел;

• теоремы о пределах;

• первый замечательный предел;

• второй замечательный предел.

В результате изучения данной темы Вы должны знать:

• определения предела функции непрерывного аргумента в точке и при х  ;

• как раскрываются неопределенности вида , ;

• случаи применения первого замечательного предела;

• случаи применения второго замечательного предела.

Ваши знания должны обеспечивать следующие умения:

• находить предел функции при х  х₀ и х  ;

• раскрывать неопределенности вида , ;

• раскрывать неопределенность вида ; применяя первый замечательный предел;

• раскрывать неопределенность вида 1^, применяя второй замечательный предел.