§ 2. Теоремы о пределах.

Теоремы о пределах (5.14).

Теорема 1. Предел суммы конечного числа слагаемых равен сумме пределов этих слагаемых.

Теорема 2. Предел произведения конечного числа множителей равен произведению пределов этих множителей.

Теорема 3. Предел частного равен частному от деления пределов, если только предел знаменателя не равен нулю.

5.14. Теоремы о пределах (адрес файла Блок 4 ____ ). Теорема 1. Предел суммы конечного числа слагаемых равен сумме пределов этих слагаемых. Теорема 2. Предел произведения конечного числа множителей равен произведению пределов этих множителей. Теорема 3. Предел частного равен частному от деления пределов, если только предел знаменателя не равен нулю. Вернитесь к тексту

Рассмотрим некоторые случаи, когда теоремы о пределах неприменимы. Особенно это часто бывает при отыскании предела отношения, когда предел знаменателя и числителя равны нулю или числитель и знаменатель стремятся к бесконечности, т.е. рассмотрим так называемые неопределенности вида

и .

Пример 1. Найти

.

Решение. При х   числитель и знаменатель стремятся к бесконечности, то есть имеем отношение двух бесконечно больших величин. Чтобы «раскрыть» эту неопределенность (/), разделим числитель и знаменатель почленно на старшую степень х, то есть на х⁴ и применим теоремы и пределах.

.

Здесь величины



бесконечно малые, следовательно, их предел равен нулю.

Пример 2. Найти

.

Решение. При х  3 имеем неопределенность вида (0/0). Разложим числители и знаменатели на линейные множители.

3х² + х – 30 = 0 х₁ = 3,

х² – 5х + 6 = 0 х = 2, х = 3

х² – 5х + 6 = (х – 2) (х – 3)

Тогда

.

Пример 3. Найти

.

Решение. Имеем неопределенность вида (0/0) при х  1. Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на выражение , сопряженное знаменателю.

.

Пример 4. Найти

.

Решение. Имеем неопределенность вида (0/0) при х  2. Избавимся от иррациональности в числителе, домножив числитель и знаменатель на неполный квадрат суммы

,

а знаменатель разложим на множители.

.

§ 3. Признак существования предела.

Теорема. Если значения функции f (х) заключены между соответствующими значениями функций F (х) и Ф (х), стремящихся при х  х₀ к одному и тому же пределу А, то f (х) при х  х₀ также имеет предел, равный числу А.

Доказательство. Пусть F (х)  f (х)  Ф (х) и . Докажем, что

. Возьмем произвольную   окрестность числа А. По условию существует такая   окрестность точки х₀, что соответствующие значения F (х) и Ф (х) принадлежат   окрестности числа А, то есть

F (х)  А   Ф (х)  А   или

А    F (х)  А + 

А    Ф (х)  А + 

Но тогда в силу заданных неравенств значения f (х), соответствующие точкам указанной   окрестности точки х₀, также будут находиться в окрестности числа А, т.е. А    f (х)  А + , а это значит, что .

Применим доказанный признак к выводу важного предельного соотношения

.

Этот предел часто называют первым замечательным пределом.

Первый замечательный придел (5.15).

Функция при   0 имеет предел, равный 1: .

5.15. Первый замечательный придел (адрес файла Блок 4 ___ ). Функция при   0 имеет предел, равный 1: . Вернитесь к тексту

Доказательство.

Будем исходить из геометрического определения синуса. Возьмем окружность радиуса 1 и предположим, что угол , выраженный в радианах, заключен в границах 0    /2 (т.к. sin / является четной функцией, то достаточно рассмотреть случай, когда   0). Из рисунка видно, что площади треугольника ОАС, сектора ОАС и треугольника ОВС удовлетворяют соотношениям:

S_{ ОАС}  S _{сек. ОАС}  S_{ ОВС}

,

то

или sin     tg 

Разделим все члены неравенства на sin  (sin   0), получим

или .

Но т.к. , , то

.

Рассмотрим примеры, где используется первый замечательный предел.

Пример 5. Найти

.

Решение. При х  0 имеем неопределенность вида (0/0). Чтобы воспользоваться первым замечательным пределом, разделим и умножим числитель на 3х, а знаменатель – на 5х.

.

Здесь

, .

Пример 6. Найти

.

Решение. Числитель и знаменатель при х  0 представляют собой бесконечно малые величины. Таким образом имеем неопределенность вида (0/0). Чтобы воспользоваться первым замечательным пределом, применим формулу 1 – cos 4x = 2 sin² 2x. Тогда

.

Числитель разделим и умножим на 4х⁴, а знаменатель – на 64х³.

.