- •Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
- •И.Г.Белявская Учебное пособие по изучению дисциплины специализации
- •260100 «Продукты питания из растительного сырья»
- •Утверждено
- •Рецензенты
- •Моделирование как средство научного исследования.
- •Основные сведения о моделях и моделировании.
- •1. Классификация математических моделей
- •Правила построения моделей
- •Определить объект исследования.
- •Выбрать критерий (цель) исследования.
- •Определить систему ограничений целевой функции.
- •Постановка и структуризация задачи при математическом моделировании технологического процесса
- •Основные понятия планирования эксперимента
- •Однофакторный эксперимент.
- •Основные положения планирования многофакторного эксперимента
- •2. Кодированные значения фактора
- •Матрица планирования полного факторного эксперимента ( пфэ)
- •3. Матрица планирования пфэ 22
- •4. Матрица планирования пфэ 23
- •Свойства матрицы планирования эксперимента
- •Определение коэффициентов линейной регрессионной модели при планировании эксперимента
- •5. Матрица планирования эксперимента 22 с учетом взаимодействия факторов
- •6. Матрица планирования эксперимента 23 с учетом взаимодействия факторов
- •7. Матрица планирования эксперимента 22 с учетом квадратичности факторов
- •8. Матрица планирования эксперимента с параллельными опытами
- •Планирование дробного факторного эксперимента
- •9. Матрица планирования дробного факторного эксперимента 23
- •10. Число опытов при планировании дробных экспериментов.
- •Проведение обработки результатов эксперимента
- •Проверка воспроизводимости эксперимента.
- •Получение оценок коэффициентов модели
- •Проверка значимости коэффициентов математической модели
- •Проверка адекватности математической модели
- •Представление экспериментальных данных.
- •Решение задачи оптимизации
Матрица планирования полного факторного эксперимента ( пфэ)
Полный факторный эксперимент (ПФЭ) характеризуется тем, что число уровней каждого фактора равно двум. При соблюдении этого условия число N опытов, необходимых для реализации всех возможных сочетаний уровней факторов составляет 2n, где n - число факторов.
Согласно этому плану для двухфакторного эксперимента должно быть проведено четыре опыта. Условия проведения эксперимента записываются в виде таблицы, называемой матрицей планирования (матрица Адамара). Каждый столбик матрицы называют вектор-столбцом, а каждую строку – вектор-строкой (табл.3).
В общем случае максимальное количество факторов, которое может быть исследовано с помощью матрицы ПФЭ 2n для линейной модели равно 2n -1. План с предельным числом факторов для данной матрицы планирования 2n называется насыщенным. Таким образом, для трех факторов план 2² с четырьмя опытами является насыщенным (2²-1=3).
Для матрицы ПФЭ 23 максимальное количество факторов, которое может быть исследовано, равно семи (2³-1=7). В этом случае четыре фактора приравниваются к эффектам взаимодействия: x4 = x1x2 , x5 = x1x3 , x6 = x2x3 , x7 = x1x2x3 .
Правила построения матрицы планирования эксперимента. 1. В первой строке все факторы устанавливаются на нижнем уровне
х i = -1,
2. Последующие строки формируются по следующему правилу: при последовательном переборе точек факторного пространства (строк матрицы планирования) частота смены знака для каждого последующего фактора х i+1 вдвое меньше, чем для предыдущего xi .
3. Все взаимодействия факторов xi·xj для каждой точки факторного пространства получаются перемножением нормированных значений соответствующих факторов.
Проведение ПФЭ позволяет оценить не только силу влияния факторов на отклик, но и эффекты взаимодействия: например, как добавление одних микроингредиентов будет стимулировать влияние других на качество выпускаемого продукта.
Столбцы матрицы, соответствующие факторам х 1 , х 2 , ..., хn (в табл. 5 и 6 обведены) образуют матрицу спектра плана. Вся матрица, включающая фиктивный столбец и взаимодействия факторов, часто называется расширенной информационной матрицей.
3. Матрица планирования пфэ 22
Номер опыта |
х1 |
х2 |
y |
1 |
-1 |
-1 |
y1 |
2 |
+1 |
-1 |
y2 |
3 |
-1 |
+1 |
y3 |
4 |
+1 |
+1 |
y4 |
При построении матрицы ПФЭ 22 комбинации уровней находятся прямым перебором. Если количество факторов более двух, используют три приема перехода от матрицы меньшей размерности к матрицам большей размерности.
При выполнении первых двух приемов сначала строится матрица ПФЭ 22, а затем – матрица ПФЭ 23 (табл.4) и большей размерности.
4. Матрица планирования пфэ 23
Номер опыта |
х1 |
х2 |
х3 |
у |
1 |
-1 |
-1 |
-1 |
у1 |
2 |
+1 |
-1 |
-1 |
у2 |
3 |
-1 |
+1 |
-1 |
у3 |
4 |
+1 |
+1 |
-1 |
у4 |
5 |
-1 |
-1 |
+1 |
у5 |
6 |
+1 |
-1 |
+1 |
у6 |
7 |
-1 |
+1 |
+1 |
у7 |
8 |
+1 |
+1 |
+1 |
у8 |
Первый прием основан на том, что при добавлении нового фактора каждая комбинация уровней, имеющихся в матрице меньшей размерности, в матрице большей размерности встречается дважды: в сочетании с нижним и верхним уровнями нового фактора. Поэтому сначала описывается исходный план для одного уровня фактора, а затем он повторяется для другого уровня (см. табл. 3).
Второй прием основан на построчном перемножении двух столбцов согласно правилу знаков: одноименные знаки перед единицей при перемножении дают +1, разноименные - -1. После перемножения получается вектор-столбец произведений х1х2 в исходном плане. Затем исходный план продлевается по числу опытов вдвое путем повторения предыдущего исходного плана (включая столбец х1х2). Далее удлиненный вдвое исходный план вновь повторяется, но вместо столбца произведений записывается столбец добавленного фактора х3 с изменением на противоположные знаки столбца х1х2. Этот прием несколько сложней, чем первый.
Третий прием основан на правиле чередования знаков. В матрице, включающей 2n опытов, знаки первого столбца меняются поочередно, знаки второго столбца - через два, третьего - через четыре, четвертого - через восемь и т.д. по степеням двойки.
Матрица планирования эксперимента обладает четырьмя общими свойствами. Два свойства относятся к особенностям построения вектор-столбцов и следуют непосредственно из правил построения матрицы.