Основные положения планирования многофакторного эксперимента

Для исследования влияния на процесс двух факторов необходимо провести эксперимент при различных сочетаниях изучаемых факторов.

Допустим, что зависимость факторов описывается линейным уравнением вида y=b_o+ b₁x₁ + b₂x₂.

Для нахождения коэффициентов уравнения из условия :

(12)

Ф = ( ŷ_i – y_i )²= [( b_o + b₁ x₁ + b₂x₂ ) – y_i ]² → min

Необходимо решить систему уравнений

{

( b_o + b₁x_1i + b₂ x_2i ) = y_i

( b_o x_1i + b₁x_1i ²+ b₂ x_1i x_2i ) = x_1i y_i

( b_o x_2i + b₁ x_1i x_2i + b₂ x_2i ² ) = x_2i y_i

Решение системы уравнений значительно упростится при переходе от натуральных значений факторов в кодированным.

Точка начала эксперимента называется базовой (нулевой) точкой. Это центр плана эксперимента. Базовую точку выбирают возможно ближе к центру области факторного пространства, в которой ведется математическое описание объекта. Такой точкой является оптимальная комбинация уровней факторов, установленная в результате анализа априорной информации.

Построение плана эксперимента сводится к выбору экспериментальных точек, симметричных относительно нулевого уровня. Интервалом варьирования факторов называется некоторое число (свое для каждого фактора), прибавление которого к основному уровню дает верхний уровень фактора, а вычитание - нижний. Таким образом, выбрав интервал варьирования, определяют крайние уровни факторов. При планировании масштабы данных по осям принимаются такими, чтобы верхний уровень соответствовал +1, нижний - -1, основной - 0.

Если область определения фактора непрерывна, выбор масштаба производится согласно формуле

х_i = ( 13 )

где x_i- кодированное значение фактора;

- натуральные значения основного фактора;

-натуральное значение нулевого уровня;

ΔХ_i - интервал варьирования;

i - номер фактора.

B табл.2 приведен пример кодированных значений для одного фактора, рассчитанных по формуле (13).

Интервал варьирования не может быть меньше погрешности измерения факторa, иначе верхний и нижний уровни окажутся неразличимыми. С другой стороны, интервал не может быть больше пределов области определения, чтобы верхний или нижний уровни оказались за пределами области определения факторов. Поэтому интервал варьирования выбирают равным 0,05...0,3 от допустимого диапазона изменений факторов, т.е. область варьирования составляет 10...60% от всего диапазона.

Для упрощения обработки результатов эксперимента и интерпретации результатов переходят от натуральных значений факторов , к кодированным безразмерным значениям

2. Кодированные значения фактора

 

Натуральное значение фактора, º С		28	31	34
Кодированное значение фактора	х	-1	0	+1

 На рис. показан в факторном пространстве симметричный двухуровневый план для двухфакторной функции отклика y=f(x₁x₂) в натуральном (рис.4,а) и кодированном (рис.4,б) представлении уровней факторов. Здесь , - искомые натуральные уровни факторов, , , +1,+1 – верхние уровни факторов , , -1,-1 – нижние уровни, , - интервалы варьирования.

Рис. 4 Симметричный двухуровневый план для двухфакторной функции отклика

При выборе интервала варьирования используют априорную информацию, содержащую сведения о точности измерения факторов, кривизне поверхности отклика и о диапазоне изменения выходной величины. Однако в виду того, что такая информация может оказаться не всегда достоверной, в ходе эксперимента ее нередко приходится корректировать.

Все возможные сочетания уровней изучаемых факторов встречаются при полном факторном эксперименте (ПФЭ). В этом случае количество испытаний N равно взаимному произведению чисел уровней каждого из факторов. Если число уровней n каждого из факторов одинаково, то N=aⁿ, где a - количество факторов. Для десяти факторов, имеющих по четыре уровня, k=4¹⁰ =104876. В подобных случаях схему ПФЭ практически реализовать невозможно.

Активные эксперименты ставятся таким образом, что в каждом опыте независимые факторы варьируются по специальному плану. Методы активного планирования эксперимента позволяют нейтрализовать пропущенные сочетания уровней.