Основные понятия планирования эксперимента

Под планированием эксперимента понимается процедура выбора числа опытов и условий их проведения, необходимых для решения поставленной задачи с требуемой точностью. Все переменные, определяющие изучаемый объект, изменяются одновременно по специальным правилам. Результаты эксперимента представляются в виде математической модели, обладающей определенными статистическими свойствами, например минимальной дисперсией оценок параметров модели.

Планирование эксперимента – выбор плана эксперимента, удовлетворяющего заданным требованиям, совокупность действий направленных на разработку стратегии экспериментирования (от получения априорной информации до получения работоспособной математической модели или определения оптимальных условий). Это целенаправленное управление экспериментом, реализуемое в условиях неполного знания механизма изучаемого явления.

В процессе измерений, последующей обработки данных, а также формализации результатов в виде математической модели, возникают погрешности и теряется часть информации, содержащейся в исходных данных. Применение методов планирования эксперимента позволяет определить погрешность математической модели и судить о ее адекватности. Если точность модели оказывается недостаточной, то применение методов планирования эксперимента позволяет модернизировать математическую модель с проведением дополнительных опытов без потери предыдущей информации и с минимальными затратами.

Цель планирования эксперимента – нахождение таких условий и правил проведения опытов, при которых удается получить надежную и достоверную информацию об объекте с наименьшей затратой труда, а также представить эту информацию в компактной и удобной форме с количественной оценкой точности.

Среди основных методов планирования, применяемых на разных этапах исследования, используют:

• планирование отсеивающего эксперимента, основное значение которого - выделение из всей совокупности факторов группы существенных факторов, подлежащих дальнейшему детальному изучению;

• планирование эксперимента для дисперсионного анализа, т.е. составление планов для объектов с качественными факторами;

• планирование регрессионного эксперимента, позволяющего получать регрессионные модели (полиномиальные и иные);

• планирование экстремального эксперимента, в котором главная задача – экспериментальная оптимизация объекта исследования;

• планирование при изучении динамических процессов и т.д.

Основоположником планирования экспериментов является Рональд А. Фишер, направление получило дальнейшее развитие в работах Френка Йетса (Иэйтса), в трудах Дж. Е. Бокса, Дж. Кифера, К.В. Уилсона, В нашей стране - в трудах Г.К. Круга, Е.В. Маркова, В.В. Налимова.и др.

В настоящее время методы планирования эксперимента заложены в специализированных пакетах, широко представленных на рынке программных продуктов, например: StatGrapfics, Statistica, Matstat, SPSS, SYSTAT и др.

Однофакторный эксперимент.

При использовании метода однофакторного экспериментирования все факторы, кроме одного стабилизируются на одном уровне. При планировании однофакторного эксперимента исследователь определяет необходимый объем данных, структуру модели и осуществляет проверку ее адекватности.

Уравнение математической регрессии целевой функции при однофакторном эксперименте принимает вид у = f ( х ). Нахождение вида функциональной зависимости основывается на методе максимального правдоподобия.

Метод максимального подобия предписывает выбирать неизвестные коэффициенты таким образом, чтобы функцию правдоподобия случайного вектора x₁, ...., x_n была максимальна. Предусматривается, что вектор ошибок состоит из неизвестных и одинаково распределенных случайных величин, имеющих нормальный закон распределения.

Функция правдоподобия имеет вид:

F

(1)

(ε_i ) = exp { - ( y_i –f (x_i)² }

При любом фиксированном значении дисперсии σ² максимум функции правдоподобия достигается при наименьшем значении суммы квадратов ошибок (невязок) эксперимента. Значение ошибки в предсказании влияния фактора на процесс по найденному уравнению результата определяется как разность предсказанного значения (вычисленного по найденному уравнению) выхода процесса и полученного в этом опыте значения выхода процесса.

∑

(2)

( y_i –f (x_i))² =∑ε_i ²

На практике обработку результатов эксперимента проводят методом наименьших квадратов.

Предположим, что исследуемый процесс описывается линейным уравнением : y=b_o+ b₁x.

В соответствии с методом наименьших квадратов функция Ф должна быть минимальна.

Ф

(3)

= ( ŷ_i – y_i )²= [( b_o + b₁ x_i ) – y_i ]²=

= (b_o² + 2 b₀b₁x_i + b₁ ²x_i² – 2 b₀ y_i – 2 b₁ x_i y_i +y_i ²)

Уравнение в частных производных выглядит следующим образом:

= (2b_o + 2b₁x_i – 2 y_i ) =0

= ( 2b_ox_i + 2 b₁ x_i² – 2 x_i y_i ) =0.

Имеем систему уравнений :

{

y_i = b_o 1+ b₁ x_i²

x_i y_i= b_o x_i+ b₁ x_i²

Решение системы уравнений имеет вид:

b0 = (4) yi xi2 – xi xi yi

N xi2 – ( xi) 2

N b1 = (5) xi yi – yi xi

N xi2 – ( xi) 2

При обработке результатов однофакторных экспериментов с целью получения уравнения регрессии второй степени y=b_o+ b₁x + b₂x² необходимо будет минимизировать функцию вида:

Ф = ( ŷ_i – y_i )²= [( b_o + b₁ x_i + b₂x_i ²) – y_i ]²=

=

(6)

(b_o² + 2 b_ob₁x_i + b₁ ²x_i² + 2 b_o b₂x_i² – 2 b_o y_i + 2 b₁ b₂ x_i ³ – 2 b₁ x_i y_i +

+b₂ ²x_i⁴ – 2 b₂ x_i ²y_i +y_i ²)

Нахождение коэффициентов уравнения сводится к решению системы:

{

( b_o+ b₁x_i + b₂ x_i ²– y_i) =0

( b_o+ b₁x_i + b₂ x_i ²– y_i) x_i =0

( b_o+ b₁x_i + b₂ x_i ²– y_i) x_i ²=0

При нахождении коэффициентов уравнения третьей степени

y = b_o+ b₁x + b₂x²+ b₃x³. Представленная выше система уравнений дополнится уравнением ( b_o+ b₁x_i + b₂ x_i ²+ b₃ x_i ³– y_i) x_i ³ = 0.

Решение систем уравнений значительно упрощается, если при планировании эксперимента будет обеспечено равенство x_i = 0. В этом случае коэффициенты линейного уравнения определяются по формуле:

bo= yi

N (7)

b1 = (8)2) xi yi

xi2

Коэффициенты квадратичного уравнения определяются по формулам:

bo= (9) (yi – b2 xi2 )
N
b1 = (10) xi yi
xi2
b2 = (11) (yi – bo ) xi2
xi4

При обработке результатов эксперимента часто пользуются графическим методом. Построение графиков позволяет наглядно изображать полученные зависимости, дает возможность производить графическим путем интерполяцию.

При построении графика масштаб на осях следует выбирать так, чтобы кривая не растягивалась вдоль одной из осей, а лежала по возможности ближе к биссектрисе координатного угла. Кривая проводится через нанесенные на миллиметровой бумаге точки плавно, без резких искривлений. Кривая должна охватывать как можно больше точек и проходить между ними так, чтобы по обе стороны от нее точки располагались равномерно.

Если измерения величины X проводились точнее, чем величины Y, то на графике вместо точек наносятся штрихи, длина которых соответствует точности измерений. Если на графике учитывается точность определения как величины X, так и Y, то штрихи заменяются четырехугольниками погрешностей. Кривая проводится плавно, по возможности через центры штрихов или прямоугольников.

Условия оптимального ведения процесса будет равенство Х=Х_opt

Х _opt

Х _opt

Рис.3 Графики однофакторного эксперимента.