- •Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
- •И.Г.Белявская Учебное пособие по изучению дисциплины специализации
- •260100 «Продукты питания из растительного сырья»
- •Утверждено
- •Рецензенты
- •Моделирование как средство научного исследования.
- •Основные сведения о моделях и моделировании.
- •1. Классификация математических моделей
- •Правила построения моделей
- •Определить объект исследования.
- •Выбрать критерий (цель) исследования.
- •Определить систему ограничений целевой функции.
- •Постановка и структуризация задачи при математическом моделировании технологического процесса
- •Основные понятия планирования эксперимента
- •Однофакторный эксперимент.
- •Основные положения планирования многофакторного эксперимента
- •2. Кодированные значения фактора
- •Матрица планирования полного факторного эксперимента ( пфэ)
- •3. Матрица планирования пфэ 22
- •4. Матрица планирования пфэ 23
- •Свойства матрицы планирования эксперимента
- •Определение коэффициентов линейной регрессионной модели при планировании эксперимента
- •5. Матрица планирования эксперимента 22 с учетом взаимодействия факторов
- •6. Матрица планирования эксперимента 23 с учетом взаимодействия факторов
- •7. Матрица планирования эксперимента 22 с учетом квадратичности факторов
- •8. Матрица планирования эксперимента с параллельными опытами
- •Планирование дробного факторного эксперимента
- •9. Матрица планирования дробного факторного эксперимента 23
- •10. Число опытов при планировании дробных экспериментов.
- •Проведение обработки результатов эксперимента
- •Проверка воспроизводимости эксперимента.
- •Получение оценок коэффициентов модели
- •Проверка значимости коэффициентов математической модели
- •Проверка адекватности математической модели
- •Представление экспериментальных данных.
- •Решение задачи оптимизации
5. Матрица планирования эксперимента 22 с учетом взаимодействия факторов
Номер опыта |
х0 |
х1 |
х2 |
х1х2 |
у |
1 |
+1 |
-1 |
-1 |
+1 |
у1 |
2 |
+1 |
+1 |
-1 |
-1 |
у2 |
3 |
+1 |
-1 |
+1 |
-1 |
у3 |
4 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
у4 |
С учетом взаимодействия факторов х1х2 видоизменяется модель
у= b0 х0 + b1 x1 + b2 x2 + b12х1х2. (16)
Коэффициент b12 вычисляется также по формуле (15) :
b12 = [(+1)y1 + (-1)y2 +(-1)y3 +(+1)y4] / 4.
Чем больше факторов, тем больше число возможных взаимодействий. Так, в матрице планирования 23 появляются новые вектор-столбцы х1х2, х1х3, х2х3 , характеризующие эффект взаимодействия первого порядка, и столбец х1х2,х3 , - эффект взаимодействия второго порядка. В общем случае эффект взаимодействия максимального порядка имеет порядок на единицу меньше числа факторов. Применяются также такие понятия, как парные эффекты взаимодействия (х1х2, х1х3, х2х3), тройные (х1х2х3, х3х4х5) и т.д.
Суммарное количество коэффициентов (в том числе b0, линейные эффекты и эффекты взаимодействия) равно числу опытов, проводимых согласно матрице эксперимента. Значения различных коэффициентов независимы друг от друга.
Е
(17)
у= b0 + b1 x1 + b2 x2 + b3 x3+ b12 х1х2 + b13 х1х3 + b23 х2 х3+ b123 х1 х2 х3.
то матрица планирования ПФЭ выглядит следующим образом:
6. Матрица планирования эксперимента 23 с учетом взаимодействия факторов
№ опыта |
x0 |
x1 |
x2 |
x3 |
х1х2 |
х1х3 |
х2х3 |
х1 х2 х3 |
у |
1 |
+1 |
-1 |
-1 |
-1 |
+1 |
+1 |
+1 |
-1 |
у1 |
2 |
+1 |
+1 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
+1 |
+1 |
у2 |
3 |
+1 |
-1 |
+1 |
-1 |
-1 |
+1 |
-1 |
+1 |
у3 |
4 |
+1 |
+1 |
+1 |
-1 |
+1 |
-1 |
-1 |
-1 |
у4 |
5 |
+1 |
-1 |
-1 |
+1 |
+1 |
-1 |
-1 |
+1 |
у5 |
6 |
+1 |
+1 |
-1 |
+1 |
-1 |
+1 |
-1 |
-1 |
у6 |
7 |
+1 |
-1 |
+1 |
+1 |
-1 |
-1 |
+1 |
-1 |
у7 |
8 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
у8 |
Если модель включает не только линейные эффекты и эффекты взаимодействия, но и квадраты, кубы и т.д. факторов, то подход к оценке коэффициентов несколько иной.
Если, например, при двухфакторном эксперименте заметное влияние имеет квадратичный член, то модель можно записать следующим образом:
у= b0 х0 + b1 x1 + b2 x2 + b12х1х2 + b11х21 + b22х22 . (18)
Если мы захотим построить матрицу планирования эксперимента с добавлением вектор-столбцов х21 и х22 (табл. 7), то получим единичные столбцы, совпадающие друг с другом и со столбцом х0, в результате чего невозможно определить, за счет чего получилось значение b0. Полученную для такого случая оценку b0 называют смешанной, так как она определяется совместными вкладами свободного и квадратичных членов.