1.3. Метод касательных

Метод касательных, иначе метод Ньютона впервые был предложен английским физиком, математиком и астрономом Исааком Ньютоном, под именем которого и обрел свою известность.

Идея, на которой основан метод касательных, аналогична той, которая реализована в методе хорд, только в качестве прямой берется касательная, проводимая в текущей точке данной функции f(x).

В одной из точек промежутка [a;b], в котором находится корень уравнения, например с, проведем касательную.

y = f(x)

Уравнение этой прямой y=kx + m.

Так как данная прямая является касательной и проходит через точку , то .

Отсюда следует:

Найдем точку пересечения касательной с осью Х:

Если , то требуемая точность достигнута и x – корень уравнения; иначе, переменной с необходимо присвоить x, провести касательную через новую точку с и так продолжать до тех пор, пока .

Осталось решить, что выбрать в качестве начального приближения с.

В этой точке должны совпадать знаки функции и её второй производной. А так как нами сделано допущение, что вторая и первая производные не меняют знак, то можно проверить условие на обоих концах интервала и в качестве начального приближения взять ту точку, где оно выполняется.

Блок-схема метода касательных

начало

конец

А, В, Е

C

нет

да

F (A)*F ’’(A) > 0

C:=A

C:=B

нет

| F (C) | < E

да

1.4. Комбинированный метод хорд и касательных

Если выполняются условия:

1. ,

2. сохраняют знак на отрезке .

то приближения корня уравнения по методу хорд и по методу касательных подходят к значению этого корня с противоположных сторон. Поэтому для быстроты нахождения корня удобно применять оба метода одновременно. Т.к. один метод даёт значение корня с недостатком, а другой – с избытком, то достаточно легко получить заданную степень точности корня.

Алгоритм решения уравнения комбинированным методом:

1. Вычислить значения функции и .

2. Найти производные .

3. Для метода касательных выбирается в качестве первого приближения выбирается тот из концов отрезка , в котором выполняется условие , т.е. и одного знака.

4. Приближения корней находятся:

а) по методу касательных: ,

б) по методу хорд: .

5. Вычисляется первое приближение корня: .

6. Проверяется выполнение условия: , где - заданная точность.

Если условие не выполняется, то нужно продолжить применение метода по предыдущей схеме.

В этом случае отрезок, на котором расположен корень, сужается и имеет вид .

Вычисления продолжаются до тех пор, пока не будет найдено такое значение , при котором и совпадут с точность .

2. Практическая часть

Рассмотрим решение уравнения .

Компьютерная модель приближенного решения уравнений вида f(x)=0 состоит из двух частей:

1. построение графика функции y = f(x) с целью определения промежутков, на которых находится один корень уравнения;

2. уточнение корня уравнения методами: половинного деления, хорд, касательных и комбинированного.