Интенсивность деформаций и напряжений
Теория деформаций, изложенная в тензорном исчислении, широко используется в теории упругости и пластичности. Поэтому вполне естественно применить ее положение в расчетах, связанных с разрушением, измельчением, перемешиванием и транспортированием горных пород.
В
теории упругости и пластичности для
оценки интенсивности деформаций служат
инварианты тензора деформаций (6). Проф.
Ф.А. Опейко предложил оценивать
интенсивность деформаций по обобщенной
деформации на основании рассмотрения
симметричного тензора второго ранга.
Главные значения
,
и
тензора (6) устанавливаются из уравнения
3-й степени как его корни:
,
(9)
где
,
,
– инварианты тензора деформаций;
;
;
.
Условие неразрывности эквивалентно обращению в ноль первого инварианта тензора, то есть
.
Поэтому по Ф.А. Опейко интенсивность деформаций (обобщенная деформация) состоит из первых двух инвариантов:
(10)
Таким образом,
интенсивность деформаций породы, не
меняющей свой объем, характеризуется
корнем квадратным из суммы квадратов
главных деформаций. Эта интенсивность
деформаций может быть выражена также
и через любые другие составляющие
тензора деформаций. Например, через
деформации рястяжения-сжатия
,
и
в направлении осей произвольно
расположенной декартовой системы
координат и половин углов сдвигов вокруг
осей этой системы координат. Это позволяет
избежать решения уравнения (9) и определения
главных деформаций.
Для изотропного однородного тела при соблюдении условия неразрывности (неизменности выделенного объема) тензоры напряжений и деформаций совпадают. Поэтому в рассматриваемом случае интенсивность напряжений (обобщенное напряжение) можно представить следующим образом:
,
(11)
где
и
– нормальные и тангенциальные напряжения
соответственно по направлениям и вокруг
осей произвольно выбранной системы
координат
;
,
и
– главные напряжения.
3. Интенсивность деформаций и напряжений при чистом сдвиге
Подавляющее большинство экскавирующих, перерабатывающих, формующих и транспортирующих механизмов и устройств при разработке и обогащении полезных ископаемых работают таким образом, что с помощью их обеспечивается чистый сдвиг, то есть порода деформируется только вокруг одной из осей выбранной системы координат. Зависимость (10) для чистого сдвига (рис. 2.1, б) принимает вид
,
(12)
так как в этом случае
.
Причем для изотропного однородного
тела
.
Аналогично для интенсивности напряжений при чистом сдвиге согласно формуле (11) имеем
.
(13)
Таким образом, в случае
чистого сдвига при упруго-пластических
деформациях без изменения объема
интенсивности деформаций и напряжений
выражаются через соответствующие
составляющие тензора одинаково с одним
и тем же множителем
.
Это обстоятельство следует считать
важным, так как напряжения и деформации
сдвига играют значительно бóльшую роль
при расчетах перерабатывающих устройств,
чем нормальные напряжения и деформации.
В теории упругости и
пластичности интенсивность деформаций
и напряжений при чистом сдвиге оценивается
соответственно зависимостями
и
.
Сравнивая коэффициенты при соответствующих
компонентах тензоров напряжений и
деформаций, можно заключить, что формулы
(12) и (13) имеют более простой вид для
чистого сдвига (оба коэффициента равны
).