2. Напряжения и деформации в точке тела
Выделим
мысленно в пласте или массиве породы
малый элемент, имеющий форму куба, ребра
которого равны соответственно
и
(рис. 1). В результате приложения внешних
сил к граням пласта или массива или
действия сил, распределенных по всему
объему породы, в любом произвольно
выделенном малом кубе (материальной
точке) возникает напряженное состояние.
Оно будет характеризоваться нормальными
напряжениями
и касательными напряжениями
,
приложенными к граням куба и действующими
в определенных направлениях. Эти
напряжения называют соответственно
компонентами
нормального напряжения и компонентами
касательного напряжения.
Рис. 1. Выделенный из сплошной среды малый элемент в виде куба
Совокупность девяти компонент напряжений полностью характеризует напряженное состояние в малом элементе тела. Эта совокупность компонент образует тензор напряжений
.
(1)
Породу
в механике горных пород условно принимают
однородной и изотропной. Тогда учитывая
положение статики о равенстве нулю
полного момента сил, действующих на
малый элемент, можно записать, что
,
,
.
Поэтому для описания напряженного
состояния тела достаточно шести компонент
напряжений.
Подробное описание напряженного состояния в точке тела и свойств тензора напряжений имеется в трудах известных ученых Н.Е. Кочина, С.П. Тимошенко, Л.Д. Ландау и многих других.
Из
теории напряжений известно, что в каждой
точке нагруженного тела всегда существуют
три взаимно перпендикулярных площадки,
по которым действуют одни только
нормальные напряжения, а касательные
равны нулю. Нормальные напряжения на
этих площадках называются главными,
а направления соответствующих нормалей
образуют главные
оси тензора напряжений.
Главные нормальные напряжения обозначают
через
,
при этом
.
Если главные оси тензора напряжений
принять за оси координат, то тензор
напряжений примет вид:
.
(2)
Плоскости, по которым действуют главные напряжения, также называются главными. На площадках, делящих углы между главными плоскостями пополам, действуют одни только касательные напряжения, которые называются главными и определяются по формулам
,
,
.
(3)
Таким образом, в каждой точке тела можно создать любое напряженное состояние, приняв главные нормальные напряжения или главные касательные направления. Однако направления главных осей выбрать сложно. Поэтому в расчетах предпочитают пользоваться закономерностью (1).
Тензор напряжений (1) можно представить в виде
,
(4)
где
– среднее нормальное напряжение;
– единичный
тензор;
– дивиатор
напряжений.
Величина
называется средним нормальным
напряжением. Оно не зависит от выбора
осей координат, то есть является
инвариантом.
Следовательно,
.
Тензор
характеризует сдвиг. Его называют
дивиатором
напряжений.
Введем
новые обозначения для напряжений. Пусть
,
,
,
,
,
.
Тогда тензор и дивиатор напряжений
примут вид:
,
.
(5)
Приложение напряжения к элементарному объему тела вызывает его деформацию. Рассмотрим и в этом случае элементарный объем тела в виде куба. Действующие на куб напряжения вызывают смещение его граней и искажение. Деформация в каждой точке тела разлагается на всестороннее сжатие (или растяжение) и сдвиг. В этом случае компонентами тензора деформаций будут шесть величин, характеризующих деформации растяжения (сжатия) и деформации сдвига,
,
(6)
где
,
,
– относительные изменения длины ребер
выделенного объема породы по
направлению осей системы координат
(рис. 2, а);
,
,
– половины углов сдвига вокруг осей
,
и
соответственно (рис. 2, б).
Рис. 2. Деформация выделенного из сплошной среды куба:
а
– растяжение-сжатие вдоль осей
и
;
б
– сдвиг вокруг оси
По аналогии с дивиатором напряжений дивиатор деформаций имеет вид:
.
(7)
Ранее
отмечалось, что при деформировании
породы соблюдается условие неизменности
объема, то есть
.
В общем случае
,
где
– главные деформации.
Оценка величин дивиаторов напряжений и деформаций необходима для определения работы формоизменения, отнесенной к единице объема породы при ее разрушении, переработке и перемещении. Эта удельная работа в настоящее время оценивается полупроизведением дивиаторов напряжений и деформаций
.
(8)
Процессы разрушения горных пород происходят в активном деформируемом объеме за пределами упругих деформаций, то есть после перехода из равновесного состояния в пластическое или вязко-пластическое. При этом затраты мощности на деформирование (разрушение) горной породы определяются как произведение удельной работы формоизменения на секундную производительность исполнительного органа горной машины.