§ 3.5 Связь между основными характеристиками электростатического поля

Для заряженной частицы, находящейся в электростатическом поле

; =

= или

где знак минус показывает, что вектор напряженности поля направлен в сторону убывания потенциала.

Из определения градиента потенциала следует

= , тогда

В проекциях на координатные оси

Полученные формулы позволяют по известным значениям потенциала найти напряженность поля в каждой точке.

§ 3.6 Эквипотенциальные поверхности

Эквипотенциальной поверхностью называется геометрическое место точек с одинаковым потенциалом

Эквипотенциальные поверхности ортогональны (перпендикулярны) к силовым линиям.

Все точки эквипотенциальной поверхности имеют одинаковый потенциал, поэтому работа по перемещению заряда q вдоль этой поверхности равна нулю, т.е. электростатические силы, действующие на заряд, всегда направлены по нормалям к эквипотенциальным поверхностям.

Например, эквипотенциальные поверхности поля точечного заряда представляют собой концентрические сферы, а линии напряженности – исходящие из центра лучи .

§ 3.7 Поток вектора напряженности

Поток вектора напряженности через поверхность - число линий вектора, пересекающих эту поверхность.

Рассмотрим поток вектора напряжённости поля, создаваемого точечным зарядом q , находящегося в вакууме ( = 1), через сферу, в центре которой он находится. Напряжённость поля на поверхности сферы радиуса r равна

Густота линий напряжённости, т.е. плотность, выбирается так, чтобы количество линий, пронизывающих единичную площадку, перпендикулярную к направлению вектора напряжённости, было равно числовому значению вектора напряженности .

Тогда полное число линий, пересекающих сферу, будет равно произведению плотности линий на площадь поверхности сферы

Поток вектора напряженности электростатического поля через сферу в вакууме равен

Если вместо сферы взять любую другую замкнутую поверхность, то полное число линий N останется тем же, так как все линии, проходящие через сферу, проходят и через эту поверхность.

Поток вектора напряженности поля, созданного точечным зарядом в вакууме, через любую замкнутую поверхность равен

Если замкнутая поверхность произвольной формы охватывает заряд, то при пересечении любой выбранной линией напряженности с поверхностью она то входит в поверхность, то выходит из неё. При вычислении потока нечетное число пересечений сводится к одному пересе-

чению, поскольку поток считается положительным, если линии вектора напряженности выходят из поверхности и отрицательным для линии, входящей в поверхность.

Если замкнутая поверхность не охватывает заряд, то поток сквозь неё равен нулю, так как число линий вектора напряженности , входящих в поверхность, равно числу линий вектора напряженности , выходящих из неё.

Рассмотрим поток вектора напряженности через элементарную площадку dS, настолько малую, что вблизи неё поле можно считать однородным. Согласно принципу суперпозиции, разделим вектор на составляющие и - нормальную и касательную к площадке dS.

Площадку пересекают только линии нормальной составляющей вектора .

Число линий, пересекающих единицу площади, равно модулю E_n. Число линий, пересекающих площадку dS, будет равно потоку

Любую поверхность можно разбить на бесконечно малые элементы площадью dS. Тогда полный поток вектора через произвольно выбранную поверхность S будет равен сумме потоков через все её элементы

Поток вектора напряженности через замкнутую поверхность