1. Тақырыбы: Оқиға және ықтималдық

2. Сағат саны – 3 сағат (120 мин).

3. Жұмыстың қажеттілігі (оқыту мотивациясы):

Кездейсоқ оқиғалар бағынатын заңдылықтарды білу осы оқиғалардың қалай өрбитітіне алдын-ала нақты жорамал жасауға мүмкіндік береді. Ықтималдықтар теориясы өндірісті жоспарлау және ұйымдастыру, технологиялық процестерге талдау жасау, өнім сапасын алдын-ала бақылау сияқты мәселелерде қолдау табатын математикалық статистиканың негізі болып табылады. Соңғы жылдары ықтималдықтар теориясы жаратылыстану, медицина, экономика және техника сияқты ғылымның әр түрлі салаларында, олардың дамуына үлкен ықпал тигізе отырып, кеңінен қолданылып келеді.

4. Сабақтың мақсаты:

Ықтималдықтар теориясының негізгі теоремалары мен формулаларымен танысу. Ықтималдықтар теориясын биологияда қолдануды түсіндіру.

- студент білуі тиіс:

1. Толық ықтималдық формуласы.

2. Байес формуласы.

3. Муавр-Лапластың локальдық теоремасы.

4. Лапластың интегралдық теоремасы.

5. Мендель заңы.

6. Харди заңы.

- студент игеруі тиіс:

1. Толық ықтималдық формуласын есеп шығаруда қолдану.

2. Байес формуласын ықтималдық есептеуде қолдану.

3. Лапластың локальдық формуласын қолдану.

4. Лапластың интегралдық формуласын қолдану.

5. Сабаққа дайындалуға арналған сұрақтар:

- базистік білім бойынша:

Кездейсоқ оқиғалар туралы түсінік. Ықтималдықтарды қосу және көбейту теоремалары. Қайталанбалы тәуелсіз сынақтар.

- сабақ тақырыбы бойынша:

1. Толық ықтималдық формуласын айтыңыз.

2. Байес формуласын айтыңыз.

3. Лапластың локальдық теоремасы не үшін қажет?

4. Лапластың интегралдық теоремасы қайда қолданылады?

6. Ақпаратты-дидактикалық блок.

Толық ықтималдық формуласы. Байес формуласы. Мендель заңдары мен Харди заңы.

Толық ықтималдық формуласы. Байес формуласы

Кейде А оқиғасының ықтималдығын есептеу үшін жүргізілген тәжірибеге орай В₁,В₂,…, В_n жоруларын (гипотезаларын) жасауға тура келеді. Бұл жорулар бірден-бір мүмкін болуы керек, яғни олардың ең болмағанда біреуі пайда болатын болуы керек, демек

В₁ +В₂+…+В_n =E_j (4)

Міне осындай шарт орындалғанда

(5)

формуласы орынды болады. (5) формуланы толық ықтималдық формуласы деп атайды.

Мысал 1: №1 деп белгіленген 2 жәшік және №2 деп белгіленген 3 жәшік бар. Жәшіктердің әр қайсысында 4 ақ және 6 қара шар бар. №2 жәшіктердің әрқайсысында 9 ақ және 1 қара шар бар. Алдымен, сәтіне қарай бір жәшік таңдалып алынған, содан кейін одан сәтіне қарай бір шар алынған. Сол алынған шардың ақ болу ықтималдығы қандай?

Шешуі: Бұл есепті тәжірибе күрделірек: “ алдымен жәшік, содан кейін шар алынған ”. Жәшіктің қай нөмірлі екендігі бегісіз. Міне осыған орай жорулар жасаймыз: В₁ – №1 жәшік алынған, В₂ – №2 жәшік алынған. Басқа жорулар жоқ. Енді А арқылы алынған шар ақ болу оқиғасын белгілелік. Енді толық ықтималдық формуласын қолдансақ

Осы теңдіктің оң жағындағы ықтималдықтарды есептелік:

Р(B_і)=2/5=0,4 Р(B₂)=3/5=0,6 және Бұл табылған мәндерді орындарына апарып қойсақ

Р(А)=0,40,4+0,60,9=0,16+0,54=0,7

Есептің жауабы-0,7 ықтималдықтары жору ықтималдықтары деп аталады. Есептің шарты бойынша жору ықтималдықтарын табу үшін Байес, ағылшын математигі есімімен аталатын формула қолданылады:

(6)

Мысал 2: Емтиханға бір группадан 10 студент қатысты. Оның 3- «өте жақсы», 4 – «жақсы», 2- «орташа», 1 – «нашар» дайындалған. Емтихандағы билетте 20-сұрақ бар. «Өте жақсы» дайындалған студент 20 сұрақтың бәріне, ал «жақсы»-16, «орташа»-10, «нашар»-5 сұрағына жауап беруі мүмкін. Кездейсоқ шақырылған студент 3 сұраққа жауап береді. Студенттердің

1) өте жақсы

2) нашар

дайындалғандығының ықтималдығын табыңыз.

Шешуі: Толық группаны қарастырамыз:

А-студент барлық сұраққа дайын

B₁-«өте жақсы» дайындалған

B₂-«жақсы» дайындалған

B₃-«орташа» дайындалған

B₄-«нашар» дайындалған

Осы оқиғалардың ықтималдығы:

Р(B₁)=0,3 Р(B₂)=0,4 Р(B₃)=0,2 Р(B₄)=0,1

Сәйкес ықтималдығы:

; ;

; ;

Р(А)=

Байес формуласы бойынша:

1) 2)