Ыºтималдыºтарды ºосу теоремасы. ²арама-ºарсы оºи¹аны» ыºтималды¹ы.
Àíûºòàìà. А мен В оºи¹аларыны» ºосындысы деп, А оºи¹асыны» немесе В оºи¹асыны» пайда болуынан т½р¹ан оºи¹аны айтады.
Àíûºòàìà. А мен В оºи¹аларыны» к¼бейтiндiсi деп, А оºи¹асыны» ж¸не В оºи¹асыны» пайда болуынан т½р¹ан оºи¹аны айтады
Оºи¹алар¹а ºолданылатын ºосу мен к¼бейту амалдарыны» сандар¹а ºолданылатын амалдар¹а ºара¹анда к¼п айырмашылыºтары бар. Мысалы, А+А=A ж¸не АА=А. Демек, оºи¹алар¹а амалдар ºолданыл¹ан да коэффициент ж¸не д¸реже к¼рсеткiшi болмайды.
Теорема 1 (ыºтималдыºтарды ºосу теоремасы). Егер А мен В оºи¹алары ºиылыспайтын болса, онда ºосындыны» ыºтималды¹ы ыºтималдыºтарды» ºосындысы те» болады, я¹ни
Àíûºòàìà.
А оºи¹асыны» пайда болмауынан т½р¹ан
оºи¹аны о¹ан ºарама-ºарсы деп атайды
ж¸не оны
òà»áàñû àðºûëû áåëãiëåéäi.
Теорема 2. А мен о¹ан ºарама-ºарсы оºи¹аларыны» ыºтималдыºтары арасында
қатынасы
орындалады.
5-мысал: ¶ш монета лаºтыр¹анда е» болма¹анда бiр герб т¾су ыºтималды¹ы ºанша?
Øåøói:
¶ш монета
лаºтыр¹анда барлыº жа¹дайлар саны n=8
, ¼йткенi ¸рбiр монетада¹ы жа¹дайлар
– 2.
А арºылы “¾ш монетаны» е» болма¹анда
бiреуiнде
герб т¾седi”
оºи¹асын белгiлелiк.
Б½л жерде А-¹а ºарама-ºарсы оºи¹аны»
ºолайлы жа¹дайларын есептеу о»ай. А-¹а
ºолайлы жа¹дай бiреу
¹ана-(Ц,Ц,Ц). Демек, Р(A)=1/8.
Олай болса,
.
Жалпы
ал¹анда, ºарама-ºарсы оºи¹аны» ºолайлы
жа¹дайларын есептеу о»ай бол¹ан жа¹дайда
жо¹арыда¹ы келтiрiлген
формуласын ºолдану¹а к¼шедi.
Шартты ыºтималдыº. Ыºтималдыºтарды к¼бейту теоремасы. Т¸уелсiз оºи¹алар.
Àíûºòàìà.
А оºи¹асыны» В оºи¹асы пайда бол¹анда¹ы
есептелген ыºтималды¹ын А оºи¹асыны»
шартты ыºтималды¹ы деп атайды ж¸не оны
òà»áàñû àðºûëû áåëãiëåéäi.
Теорема 3. А мен В оºи¹аларыны» к¼бейтiндiсiнi» ыºтималды¹ы те» болады: осы екi оºи¹аны» бiреуiнi» ыºтималды¹ына; к¼бейтiлген екiншiсiнi» бiрiншiсi пайда бол¹анды¹ы шартты ыºтималды¹ына.
Б½л теореманы ыºтималдыºтарды к¼бейту теоремасы деп атайды. С¼йтiп, к¼бейту теоремасын екi т¾рде жазу¹а болады:
немесе
6-мысал: Жәшікте 8 аº ж¸не 16 ºара шар бар, б½ларды» iшiнде 2 аº ж¸не 6 ºара шарды» белгiлерi бар. Сәтіне қарай бiр шар алын¹ан. Сол алын¹ан шарды» ºара ж¸не оны» белгiсi болу ыºтималды¹ы ºандай?
Øåøói: А арºылы ºара шар болуын белгiлелiк. Сонда Р(А)=16/24=2/37
Алын¹ан шар ºара бол¹анда оны» белгiсi болу ыºтималды¹ы Р(В)=6/16=3/8.
Ыºтималды¹ы iзделiндi оºи¹а АВ к¼бейтiндiсi болады. Ыºтималдыºтарды к¼бейту теоремасын ºолдансаº ж¸не де тиiстi м¸ндердi ескерсек
Àíûºòàìà. Åãåð ÐÀ(В) =Р(В) те»дiгi орындалса, басºаша айтºанда шартты ыºтималдыº шартсыз ыºтималдыººа те» болса, онда В оºи¹асы А оºи¹асына т¸уелсiз деп атайды.
Теорема 4. А мен В оºи¹алары т¸уелсiз болу ¾шiн
P(AB)=P(A) P(B)
те»дiгiнi» орындалуы ºажеттi ж¸не жеткiлiктi.
Àíûºòàìà. À1, À2,….,Àn оºи¹аларыны» кез келген Аi ,…, Aik òîáû ¾øií
(3)
те»дiктерi орындалса, онда А1, À2,….,Àn оºи¹аларын т¸уелсiз (кейде б¸рiн ал¹анда т¸уелсiз) деп атайды.
7-мысал: Екi атºыш нысана¹а бiр д¾ркiн оº атºан. Бiрiншi атºышты» нысана¹а тигiзу ыºтималды¹ын 0,8, ал екiншi атºыш ¾шiн ыºтималды¹ы 0,7. Нысына¹а бiр оº тию ыºтималды¹ын есепте»iз.
Øåøói:
Оºи¹аларды
белгiлеп
алалыº: А1-бiрiншi
атºышты» нсыана¹а тигiзу,
А2-екiншi
атºышты» нысана¹а тигiзу.
А арºылы ыºтималды¹ы iзделiнде
оºи¹аны белгiлелiк:
“Нысана¹а бiр
оº тиедi”
оºи¹асы “бiрiншi
атºыш тигiзедi
ж¸не екiншi
атºыш тигiзедi”
оºи¹алары екендiгi
т¾сiнiктi.
Олай
болса,
–
. Оº “ бiр д¾ркiн ” атылып отыр. Демек,
атºыштарды» нысана¹а тигiзу бiр-бiрiне
т¸уелсiз. Сондыºтан да, ºосу ж¸не к¼бейту
теоремаларын ºолдану¹а болады:
.
Есептi» шарты бойынша
.
²арама-ºарсы оºи¹аларды» ыºтималды¹ы
бойынша
.
Ендiгi осы м¸ндердi орындарына ºойсаº
P(A)=0,8 0,3+0,2 0,7=0,24+0,14=0,38
Сонымен нысана¹а бiр рет оº тию ыºтималды¹ы-0,38