Тема 12. Закон больших чисел

12.1.Контрольные вопросы

1. В чем состоит принцип практической уверенности?

2. Что понимается под законом больших чисел в широком и узком смысле?

3. Приведите примеры проявления закона больших чисел.

4. Запишите лемму Чебышева и поясните её содержание.

5. Запишите неравенство Чебышева для любой случайной величины и поясните её содержание.

6. Запишите неравенство Чебышева для:

а) случайной величины имеющей биноминальный закон распределения;

б) частности появления события А в n испытаниях схемы Бернулли;

7. В чем состоит правило трех сигм?

8. Запишите теорему Чебышева и её следствие.

9. Укажите практическую значимость теоремы Чебышева.

10. Запишите теорему Бернулли. Укажите следствия этой теоремы. Практическую значимость этой теоремы.

11. В чем сущность теоремы Ляпунова?

12.2. Практические задания по теме

Задача 12.2.1. Отделение банка в среднем обслуживает 100 клиентов в день. Оценить вероятность того, что сегодня в отделение банка будет обслужено:

а) не более 200 клиентов;

б) более 150 клиентов.

Задача 12.2.2. Вероятность того, что акции переданные на депозит будут востребованы равно 0,08. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что среди 1000 клиентов от 70 до 90 востребуют свои акции.

Задача 12.2.3. Вероятность сдачи в срок всех экзаменов студентов факультета равно 0,7. С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что доля сдавших в срок все экзамены из 2000 студентов заключена в границах от 0,66 до 0,74.

Задача 12.2.4. Опыт работы страховой компании показывает что страховой случай приходиться на каждый пятый договор. Оценить с помощью неравенства Чебышева необходимое количество договоров которое следует заключить чтобы с вероятностью 0,9 можно было утверждать, что доля страховых случаев отклониться от 0,1 не более чем 0,01 (по абсолютной величине). Уточнить ответ с помощью следствия из интегральной теоремы Муавра Лапласа.

Задача 12.2.5. Вероятность того, что дилер, торгующий ценными бумагами, продает их равна 0,6. При каком числе ценных бумаг вероятность отклонения доли проданных среди них отклоняется от 0,6 не более чем на 0,03 (по абсолютной величине) превысит 0,94.

Задача 12.2.6. Сколько надо произвести измерения данной величины, чтобы с вероятностью не менее 0,95 гарантировать отклонение средней арифметической этих измерений от истинного значения величины не более чем на 1 (по абсолютной величине), если среднее квадратическое отклонение не превосходит 5?

Задача 12.2.7. Количество воды необходимое данному микрорайону в течении суток является случайной величиной, математическое ожидание 8500 м³ , а среднее квадратическое отклонение 1500 м³. Почему нельзя применить неравенство Чебышева для оценки вероятности того, что в ближайшие сутки расход воды составит от 6000 м³ о 10000 м³ . Как нужно изменить правую границу, чтобы применение неравенства Чебышева стало возможным. Решить задачу при измененной правой границы.

Библиографический список

1. Ермаков В.И. Сборник задач по высшей математике для экономистов: учеб. пособие для вузов / под ред. В.И. Ермакова. – М. : ИНФРА-М, 2002. – 575с.

2. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для вузов / под ред. Н.Ш. Кремера. – 2-е изд., перераб. и доп.- М. : ЮНИТИ-ДАНА, 2004. – 573с.