Тема: Производная функции в точке, её геометрический, механический и экономический смысл

1. Контрольные вопросы:

1. Дайте определение производной функции

____________________________________________________________________________________________________________________________________

2. В чем заключается геометрический смысл производной?

____________________________________________________________________________________________________________________________________

3. Какое утверждение правильное?

а) если функция непрерывна в некоторой точке, то она дифференцируема в этой точке;

б) если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке.

_________________________________________________________________

4. Каков механический смысл первой и второй производной

__________________________________________________________________

5. Как составить уравнение касательной и нормали к графику функции y=f(x) в точке М₀(х₀,у₀)?

____________________________________________________________________________________________________________________________________

2. Практические задания по теме

Задание 1. Найти производную функции, пользуясь определением:

1. у=х²-2х+3

____________________________________________________________________________________________________________________________________

2. f(x)= sin2x

____________________________________________________________________________________________________________________________________

3. f(x)=x³+4

____________________________________________________________________________________________________________________________________

4. f(x)=e^x

____________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 2. Составить уравнение касательной и нормали к графику функции y=f(x) в точке М₀(х₀,у₀):

1. у=2х³-3х²+6х-3, х₀=2

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. у=ln(1+x), x₀=0

____________________________________________________________________________________________________________________________________

3. y=sinх, x₀=/3

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 3. Решить следующие задачи:

3.1. Какой угол образуют с осью абсцисс касательная к графику функции, проведенной в указанной точке?

а) у=х²-5х+8, х₀=3

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ б) у=ln(1-x), x₀=0

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3.2. Составить уравнение касательной к кривой у = 5х – х², параллельной прямой, проходящей через точки (1; 7) и ( - 2; 2).

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3.3. Составить уравнения касательных к кривой у = х³ + 2х + 1, перпендикулярных прямой 5у + х – 4 = 0.

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3.4. Составить уравнение касательной к кривой у = е^-х: а) проходящей параллельно биссектрисе второго и четвертого координатных углов;

б) отсекающей на оси абсцисс отрезок, равный – 1.

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3.5. Составить уравнение касательной к кривой у=2х+3/х+4, проходящей через точку М (6; 2).

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Задание 4. Найти угол между кривыми:

а) у = х² + 5х – 1 и у = х² + 4

___________________________________________________________________________________________________________________________________ б) у = х³ и у = 1/х²

___________________________________________________________________________________________________________________________________ в) х² + 4у²=9 и у² = 2х.

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3. Творческая работа (это интересно знать)

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________