7. Передаточные функции 4х-полюсников

Вторичные параметры 4х-полюсника, его коэффициент затухания а и коэффициент фазы b характеризуют сам 4х-полюсник. В целом же условия передачи сигнала эти параметры характеризуют лишь при пол-ном (по входу и по выходу) согласовании 4х-полюсника.

Однако чаще 4х-полюсник имеет несогласованную нагрузку, да и мо-жет подключаться к различным источникам сигнала или питания. В та-ких условиях возникает отражение сигнала, а его фактическое затуха-ние больше чем коэффициент затухания 4х-полюсника.

Для характеристики передачи сигнала через 4х-полюсник при про-извольной нагрузке пользуются так называемыми рабочими или эксплуатационными параметрами, которые включают в себя понятия вно-симого затухания авн и понятия передаточных функций 4х-полюсни- ка, в частности, коэффициентов передачи по напряжению Кu и по то-ку Кi . Эти величины зависят уже не только от параметров самого 4х-полюсника, но и учитывают параметры источника Z₁ и нагрузки Z₂.

Термин “вносимое затухание” можно понимать как меру отличия передачи сигнала от источника в нагрузку через 4х-полюсник от пере-дачи того же сигнала при непосредственном подключении нагрузки к источнику. Выражение для авн содержит целых пять громоздких слагаемых, не будем его даже приводить (см. учебник Г.В.Зевеке).

Под передаточными функциями 4х-полюсника в заданном режиме понимают коэффициенты передачи по напряжению и току, а также передаточное сопротивление Z и передаточную проводимость Y :

; ; ; ;

Это комплексные величины, зависящие также от частоты. Поэтому из них получают частотные характеристики цепи АЧХ, ФЧХ, АФЧХ.

Передаточные функции произвольно нагруженного 4х-полюсника могут быть выражены через любую систему коэффициентов 4х-полю-сника и сопротивление нагрузки. Например:

; ;

При холостом ходе и коротком замыкании 4х-полюсника будет:

Кu х.х. = 1/А Кi x.x. = 0 ; Ku к.з. = 0 Кi к.з. = 1/D .

ЗАКЛЮЧЕНИЕ. Итак, сам пассивный 4х-полюсник и в целом передачу сигналов от источника в нагрузку через 4-полюсник можно характеризовать: первичными АВСD - коэффициентами, вторичными параметрами Zc и g = a+jb и рабочими параметрами авн, Кu, Ki .

Связь между входными и выходными величинами 4х-полюсника может быть исследована ещё и графически, с помощью специальных векторных диаграмм, называемых годографами. Этим часто пользуются при анализе режи-мов работы эл-машин: трансформаторов и электродвигателей. Но оставим это (Зевеке Г.В. и др. ТОЭ, 1989г, стр. 161-167) для студентов-энергетиков.

ПРИМЕРЫ РАСЧЁТА 4х-ПОЛЮСНИКОВ

При расчёте 4х-полюсников типичные задачи - это расчёт первичных или вторичных параметров, расчёт токов и мощности на входе или на выходе. Это может быть расчёт по известной схеме 4х-полюсника или по данным опытов холостого хода и короткого замыкания.

Пример 1.Общий случай расчёта параметров несимметричного 4п.

З адана схема 4х-полюсника и параметры

её элементов:

Z₁ = +j80 Ом, Z₂=Z₄= 40e ^j0, Z₃ = -j40 Ом.

Требуется определить АВСD - коэффициенты, составить схему замещения и опреде-лить её сопротивления, рассчитать сопротивления Zc₁, Zc₂, а при Zнг = 20 Ом найти коэффициенты передачи 4х-полюсника по напряжению Кu и по току Кi.

Решение

1.Заданная схема не является одной из типовых Т- или П- схемой. Поэтому для определения АВСД - коэффициентов 4х-полюсника находим сопротивления Z_1Х, Z_2Х, Z_2К.

, Ом

, Ом

, Ом.

2. По формулам [3] рассчитываем А-коэффициенты 4х-полюсника:

А = ± = ± 1.342е^-j26.565 = 1.2 - j0.6 [безразмерный]

*Формула даёт значение А-коэффициента с точностью ±180⁰. Уточнение знака можно выполнить с помощью векторной диаграммы или просто принять знак плюс и проверить выполнение соотношения АD - ВС = 1.

, Ом

, См

[безразмерный].

Проверка: соотношение АD - ВС = 1 - выполняется.

3. Рассчитываем сопротивления Т-схемы замещения 4х-полюсника:

, -20 –j20 , Ом

Z_3Т = 1/С = 89.445 е^+j26.565 = 80 + j40 Ом.

Как видим, Т- схема замещения не может быть реализована: для элемента Z_2Т необходимо отрицательное r-сопротивление. Поэтому рассчитываем и элементы П-схемы замещения.

, Ом ; Z_3П = В = 4 - j52 Ом.

4. Cопротивления Z_1Х ≠ Z_2Х, следовательно, 4х-полюсник несимметричен. Его характеристические сопротивления Z_С1 и Z_С2 не равны. Их можно рассчитать через АВСД - коэффициенты или непосредственно через сопротивления х.х. и к.з.

Ом.

, Ом.

5. Нагрузка не согласована: Zнг = 20 Ом ≠ Z _С2 = 49.6е^-j20.3 Ом. Именно в таких случаях разумно использовать коэффициенты передачи 4х-полюсника по напряжению и току.

, б/р.

----------------------- ♦ ----------------------

Пример 2. Расчёт коэффициентов по Т-схеме. Работа с уравнениями 4п.

На переходе из воздушной линии связи в кабельную часто используется автотрансформаторная схема с включённым конденсатором. Схема представлена после развязки связи.

Дано: Хс = 35 Ом, Хм =10 Ом.

Х₁ = 20 Ом, Х₃ = 60 Ом.

Определить АВСД - коэффициенты 4х-полюсника. При напряжении U₁ =100 B и согласованной нагрузке найти токи на входе и на выходе 4х-полюсника.

Решение

* Задана типовая Т-схема 4х-полюсника: Z_1Т = -j35 + j20 - j10 = -j25 Ом,

Z_2Т = +j10 Ом, Z_3Т = j60 - j10 = +j50 Ом.

* В этом случае А- коэффициенты находятся достаточно просто по [4]:

Получаем: А = 0,5 [б/р] В = -j20 Ом, С = -j0,02 См, D = 1,2 [б/р].

* Для определения Zсогл - сопротивления согласованной нагрузки считаем характеристическое сопротивление Z_С2 четырёхполюсника:

Z_С2 = ; Ом.

* Уравнения 4х-полюсника и расчёт токов и напряжения.

[1]

Несколько преобразуем первое уравнение с учётом Zнг = Zc₂ и найдём U₂. Напомним, что при Zнг = Z_С2 входное сопротивление будет равно сопротив-лению Z_С1.

=

;

Тогда токи можно найти не только по уравнению [2], но и просто по з. Ома:

, А , А.

Будет кстати заметить, что S₁ =100·4,9 = 490 ВА, S₂ =154,9·3,16 = 489,484 ВА, т.е. затухание проходящего сигнала в данном случае равно нулю. Убедимся в этом, рассчитав коэффициент затухания а и коэффициент фазы b, т.е. постоянную передачи 4х-полюсника.

= 0 – j0,6847 ; т.е.

действительно, в заданной схеме коэффициент затухания а = 0, а g = jb.

--------------------- ♦ --------------------

Пример 3. Расчёт параметров 4х-полюсника по данным опытов ХХ и КЗ.

Для симметричного 4х-полюсника по опытам холостого хода и ко-роткого замыкания найдено:

Z _ХХ = 27.63 е^+j26.167 Ом, Z _КЗ = 45.1 е^+j61 Ом.

Требуется определить характеристические параметры 4х-полюсника.

Решение

* 4х-полюсник симметричен, Z _С1 = Z_С2 = Z _С . Считаем:

Zc = , Ом.

* Постоянная передачи:

= =1.2776е^j17.417= 1.219 +j0.382;

= = 5.117 е^{+j129.6 = j2.26 рад} = М ∙е ^{j φ};

М ∙е ^jφ = М ∙е^{+j2.26 рад} = ; приравнивая М = е^2а и jφ = j2b,

находим:

а , b = , g = 0,816+j1,13 [б/р].

----------------------------- ♦ ----------------------------

Пример 4. Расчёт схемы замещения по заданным параметрам Zc и g.

Для симметричного 4х-полюсника определены вторичные параметры:

Zc = 35.3 е^+j43.584Ом, g = 0.816 + j1.13 = 1.394 е^+j54.166 б/р.

Составить схему замещения и определить параметры её элементов.

Решение

* К решению. Обычно и привычно мы записывали сопротивления схем замещения через АВСД - коэффициенты. Но вспомним и сравним уравнения 4х-полюсника, записанные через характеристические параметры:

[1-10]

* Для решения задачи, очевидно, необходимо найти гиперболические функ-ции sh g и сh g. Выполним это по соотношениям Эйлера.

sh g = [е ^g - е ^-g] = 0.5[е ^αе ^jb - е^{- α}е^{- jb}] = 0.5[е ^0.816е ^{j1.13рад = j64.744} -

- е ^{- 0.816}е^{- j64.744}]= [(0.4824+j1.0226) - (0.0943-j0.2)] = 0.3881+j1.2226=

= 1.2827e^j72.3885;

сh g =[(0.4824+j1.0226) + (0.0943-j0.2)] = 0.5767+j0.8226=1.0046e^+j54.968;

Следовательно:

А = D = сh g = 1.0046e^+j54.968 = 0.5767 + j0.8226;

В = Zc∙sh g = 35.3 е^+j43.584 ∙1.283e^j72.388 = 45.279e^+j115.972 = -19.83+ j40.7 Ом

С = sh g / Zc = 0.0363e^+j28.804 = 0.0318 + j0.0175 См

Соотношение АД-ВС = 1 выполняется.

* Так как В = Z_3П имеет отрицательное R, то П-схема нереализуема.

Для Т-схемы:

Z_1Т = (А - 1)/С = 25.485e^+j88.426 = 0.7 + j25.475 Ом. (L = 81 мГн).

Z_3Т = 1/С = 27.548e^-j28.804 = 24.14 - j13.273 Ом. (С = 240 мкФ).

----------------- ♦ ---------------

МСР. Задания малой самостоятельной работы в аудитории.

Симметричный 4х-полюсник предназначен для работы на согласованную нагрузку Zнг = 55,149 е ^-j23,166 Ом. При одном и том же напряжении поставлены опыты х.х. и к.з., однако достоверно получены лишь следующие данные:

I_1Х = 2,19 + j0,876 A, U_2Х = 33,347е^+j66,8 B, I_2К = -0,0137 + j0,5904 A.

Требуется: 1. Найти напряжение, при котором проведены эксперименты.

2. Определить сопротивления Zxx и Zкз.

3. Найти постоянную передачи 4х-полюсника.

4. Найти А-коэффициенты четырёхполюсника.

5-6. Определить элементы Т и П схем замещения.

7-8. При согласованной нагрузке найти I₁, I₂, U₁, U₂. Р₁ и Р₂.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАНИЙ МСР

Заданные величины представляют собой неполные данные опытов ХХ и КЗ, или иными словами - нестандартные данные. В такой ситуации решение также требует нестандартного, творческого подхода, а не только простого применения формул из теории 4х-полюсников. Полезно вспомнить и МЭГ, и самые простые соотношения для расчёта мощностей: Р = r ·I ² = g ·U².

1. По МЭГ хорошо определяется сопротивление Zкз = Z_2К, после чего из выражения Zc находится сопротивление Zxx и далее напряжение U_1Х.

2. Путь решения такой же, как в пункте 1: по МЭГ находится сопротивле-ние Zкз = Z_2К, после чего сопротивление Zxx находится из выражения Zc.

3. Постоянную передачи g в данном случае лучше находить через сопротивления Zxx и Zкз (см. пункт 2):

4. А,В,С,Д- коэффициенты можно находить в следующем порядке:

А = ± = 0,9878 е ^–j126,3, и т.д. Но у А-коэффициента надо проверить оба знака. Возможны и другие пути расчёта.

5-6. Для расчёта сопротивлений Т и П-схем замещения, конечно же, сначала необходимо определить А,В,С,D – коэффициенты.

7-8.Величины I₂, U₂, Р₂ находятся просто по МЭГ. Входные параметры мож-но определить либо непосредственно по уравнениям 4х-полюсника, для чего нужно будет ещё найти А и В-коэффициенты, либо по следующей цепочке:

; , .

-------------- ♦ -------------

4х-ПОЛЮСНИКИ * КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ * СВОДКА ФОРМУЛ

1. Четырёхполюсник - это электрическая цепь или её часть, у которой выделены два входных и два выходных зажима. Различают активные и пассив-ные, обратимые и необратимые, симметричные и несимметричные 4х-п.

Основные уравнения 4х-полюсника - через АВСД и через Zc, g- коэфф:

А D – В C = 1 [1-2-10]

4х-полюсники характеризуют АВСД–коэффициентами, характеристическими параметрами Zc, g= a+jb, и передаточными функциями Кu, Кi. авн.

[3]

Проверка: А D - В C = 1 или ch²g - sh²g =1 или Z_1X∙Z_2К = Z_1К ∙Z_2X ;

* Входное сопротивление 4-полюсника при произвольной нагрузке:

[6а,б]

* Расчёт элементов Т- и П- схем замещения через А-коэффициенты:

2. Характеристические параметры 4х-полюсников удобны для устройств,

работающих в широком диапазоном частот.

Для симметричного 4х-полюсника:

g = a+j b = = . [7-8-9]

или по данным опытов холостого хода и короткого замыкания:

; ; ;

Для несимметричного четырёхполюсника:

[7а]

g = a+jb = = ; [8-9а]

Коэффициент затухания а, Нп, дБ, коэффициент фазы b, рад.

1 Нп = 8,686 дБ. 1 дБ = 0,115 Нп.

3. Коэффициенты передачи (передаточные функции) 4х-полюсника при произвольной нагрузке:

; .

При холостом ходе и коротком замыкании 4х-полюсника будет:

Кu хх = 1/А Кi xx = 0 ; Ku кз = 0 Кi кз = 1/D .

4. Каскадное соединение симметричных 4х-полюсников называют цепны-ми схемами или искусственными линиями, рассматривают их обычно при согласованной нагрузке.

Z_C ц.схемы_. = Z_C звена, .

Ответы к заданиям МСР

1. U₁ = 127 В.

2. Zхх = 50 - j20 Ом, Zкз = 51.379 - j23.448 Ом.

3. g = a + jb = 2.042 – j 1.178 б/р.

4. А = D = 1.5 - j3.5; В = -5 - j215 Ом, С = 0.05 – j0.05 См.

5. Т-схема: Z1т = Z 2т = 40 – j30 Ом, Z 3т = 10 + j10 Ом.

6. П-схема: Z1п = Z 2п = 60 – j10 Ом, Z 3п = -5 – j 215 Ом.

7-8. U₁ = 127 В, I₁ = +2.117 + j 0.906 А, Р₁ = 268.88 Вт.

U₂ = 6.31+j15.223 В, I ₂ = - 0.0034 + j 0.2988; Р₂ = 4.53 Вт.

------------------- АВХ, 7 июля 2013г. --------------------

* Для студентов-энергетиков.

ПОНЯТИЕ О ГОДОГРАФАХ -

КРУГОВЫХ ДИАГРАММАХ 4Х-ПОЛЮСНИКА

Годографом или диаграммой вектора называют геометрические места вектора, изображающего какую-либо величину при её изменении.

Такие диаграммы могут представлять собой прямые линии или дуги окружности. Уравнение прямой и уравнение окружности в обычной и в комплек-сной /векторной/ форме имеют вид:

; ;

П редполагается, что комплексы и , а также аргумент “φ” у комплекса N = n∙e^jφ остаются неизменными. Изменяется только модуль “n”. Это соответствует, например, изменению нагрузки по величине, без изменения её характера. Тогда конец вектора М на комплексной плоскости будет вычерчивать прямую или дугу окружности. Рассмотрим простую цепь из последовательно соединённых

Zк = и нагрузки Zнг = .

Допустим, что сопротивление нагрузки изменяется по модулю, при неизменном ха-рактере нагрузки: φнг = const.

Требуется описать на комплексной плоскости зависимость тока цепи I(zнг).

По закону Ома запишем:

;

Полученная формула есть уравнение окружности. Для её построения необходимо иметь величины U₁, Zк, Iк, ψ = φнг - φк.

Приведенную схему можно рассматривать и как простейший 4х-полюсник. Покажем, что уравнения 4х-полюсника в А-форме при U₁ = const, φнг = const сводятся к виду выражения окружности.

Второе уравнение 4х-полюсника I₁ = CU₂+DI₂ запишем в виде I₁ = а+b I₂ и определим коэффициенты этого вида уравнения по условиям холостого хода и короткого замыкания 4х-полюсника:

ХХ: I_2Х = 0, I_1Х = a .

КЗ: I_1К =I_1Х + b^.I_2К ; b = (I_1К - I_1Х) /I_2К .

Таким образом, для любого произвольного режима 4х-полюсника его входной ток через выходной запишется:

;

Чтобы получить зависимость от сопротивления нагрузки, выразим ещё ток I₂ по методу эквивалентного генератора:

= I_2К / ;

Тогда: ; ψ = φнг - φ2к , т.е. при изменении нагрузки по модулю, вектор тока I₁ четырёхполюсника своим концом описывает окружность на комплексной плоскости - круговую диаграмму.

Для её построения необходимо знать величины: U₁, I_1Х, I_1К, Z_2К, ψ = φнг - φ_2К . Порядок построения круговой диаграммы, её вид и как ею пользоваться - всё это подробно, с примерами, описано в учебнике Зевеке Г.В., ТОЭ, 1989г., стр. 161-167, а также в пояснениях к лабораторной работе «Исследование пассивных четырёхполюсников» в лаб. 211.

Заметим, хотя круговая диаграмма и строится как зависимость тока I₁ от модуля Zнг, по ней могут быть определены и все остальные величины: S₁, S₂, U₂, I₂, P₂, Q₂ , η .

В радиотехнических системах приоритетна зависимость от частоты. Диа-грамма имеет более сложную форму и называется частотным годографом или просто частотной характеристикой цепи.

-------------------- АВХ, 7 июля 2013 года ---------------------