5. Входное сопротивление 4х-полюсника

ПРИ ПРОИЗВОЛЬНОЙ НАГРУЗКЕ.

СОГЛАСУЮЩАЯ ФУНКЦИЯ ЧЕТЫРЁХПОЛЮСНИКА

До этого момента говорилось лишь о самом 4х-полюснике и его свойствах, без учёта подключённой к нему нагрузки. Кстати, для них входные сопротивления - это сопротивления Zхх и Zкз, которые легко записываются [3] через АВСD -коэффициенты:

Z_1XX = A/C; Z_1КЗ = В/D; Z_2XX = D/C; Z_2КЗ = В/A.

Входное сопротивление 4х-полюсника с произвольной нагрузкой относительно входных и относительно выходных зажимов также можно записать через АВСD-коэффициенты четырёхполюсника, но уже с учётом реального сопротивления нагрузки Z_2НГ или Z_1НГ.

[6а,б]

Аналогично записывается выражение Z_2ВX. В формуле поменяются местами А и D-коэффициенты, да ещё будет сопротивление Z_1НГ.

Из приведенных выражений следует сделать важный вывод: любой 4х-полюсник преобразовывает /конвертирует/ сопротивление Z_НГ в не-которое сопротивление Z_ВX, т.е. обладает согласующими свойствами.

6. Характеристические параметры 4х-полюсника.

УРАВНЕНИЯ В ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ

Такие устройства как телефонные и телеграфные линии связи, мно-гокаскадные усилители и многозвенные электрические фильтры могут рассматриваться как 4х-полюсники. Но их работе присущи харак-терные особенности: это большая протяжённость в пространстве и ши-рокий диапазон частот проходящих сигналов. В этих условиях АВСD-коэффициенты, как характеристики для фиксированной частоты, становятся неудобными. В таких случаях уравнения записывают через ги-перболические функции и пользуются вторичными /характеристичес-кими, волновыми/ параметрами 4х-полюсников, к которым относятся:

- характеристические сопротивления Z_C1 и Z_C2 ;

- постоянная передачи g = a +j b четырёхполюсника.

* Характеристические сопротивления Z_C1 и Z_C2 несимметричного 4х-полюсника - это пара сопротивлений, удовлетворяющая следующим условиям: входное сопротивление Z₁вх = Z_C1, если 4х-полюсник нагружен на Z_C2, и наоборот: сопротивление Z₂вх = Z_C2, если по входу 4х-по-люсник нагружен на Z_C1.

З нание этих величин необходимо для согласования 4х-полюсника как по выходу, т.е. с нагрузкой, так и по входу, т.е. с источником сигнала или блоком питания. В этом случае от источника сигнала /датчи-ка/ в нагрузку будет передана максимально возможная мощность.

Сопротивления Z_C1 и Z_C2 находят совместным решением формул [6аб] для входных сопротивлений Z_1ВХ и Z_2ВХ четырёхполюсника.

Для симметричного 4х-полюсника:

[7]

Для несимметричного 4х-полюсника:

[7а]

* Постоянная передачи g= a+j b - это комплексная величина, харак-теризующая передачу сигнала по мощности. По определению посто-янная передачи g - это отношение мощностей входного и выходного сигналов, взятое в логарифмическом масштабе:

g = a +j b = , [б/р] . [8]

Здесь а - коэффициент затухания (ослабления) сигнала по мощнос-ти, в неперах или децибелах, b - коэффициент изменения фазы “мощностного” сигнала, в радианах.

Нп, дБ. b = , рад.

На первый взгляд кажется, что здесь где-то ошибка, потому что “а” это вещественная часть комплекса, и она не должна равняться модулю комплекса “ g ”. Но посмотрите выкладки - всё здесь правильно.

g = ; 2g = ; е^2g = ;

е^2а∙е^j2b = ; ; a = .

Единицы затухания приняты:

на основе натурального логарифма - неперы,

на основе десятичного логарифма - бел, децибел.

Если сигнал, проходя через 4х-полюсник, по мощности уменьшает-ся в 10 раз, то коэффициент затухания будет равен:

а = а =

Отсюда находим соотношение между этими единицами затухания:

1 Б = 1,15 Нп 1 Нп = 0,8686 Б

1 дБ = 0,115 Нп 1 Нп = 8,686 дБ.

Теперь о коэффициенте фазы b четырёхполюсника. Это не сдвиг по фазе между напряжениями или между токами 4х-полюсника, это раз-ность фаз комплексов мощностей на входе и выходе S₁ и S₂.

В случае согласованной нагрузки, когда Zнг = Z_C = Zвх, коэффици-ент фазы b действительно, будет равен сдвигу по фазе как между токами, так и между напряжениями: b = ψu1 - ψu2 = ψi1 - ψi2.

КАК РАССЧИТЫВАЕТСЯ ПОСТОЯННАЯ ПЕРЕДАЧИ 4-ПОЛЮСНИКА

* Характеристические параметры 4-полюсника, как и первичные, полностью определяются схемой и параметрами элементов, и могут быть рассчитаны: - по определению (см. выше);

- через сопротивления Zхх и Zкз;

- через первичные АВСD - коэффициенты.

Для симметричного 4х-полюсника:

g = a +j b = , [8а]

По данным опытов холостого хода и короткого замыкания:

; ; ; [8б]

приравнивая в последнем выражении М = е^2а и jφ = j2b, записываем

полное выражение постоянной передачи g = a +j b.

* РЕМАРКА. Атабеков Г.И., ТОЭ, с.251: расчёт постоянной g предпочтительнее вести по [8] или через АВСД - коэффициенты по формулам [8а-9а], так как th g в формуле [8b] не улавлива-ет разницы от перекрещивания входных зажимов 4-полюсника. См. также ремарку к определению знака А-коэффициента в начале раздела.

Для несимметричного 4х-полюсника расчёт постоянной g через со-противления Zхх и Zкз довольно громоздок, поэтому приведём лишь следующие расчётные выражения:

g = , т.е. е ^g = ; [9a]

Уравнения 4х-полюсника в гиперболических функциях

Часто используются при исследовании фильтров и длинных линий, которые являются симметричными четырёхполюсниками.

Чтобы получить эти уравнения, от АВСD-коэффициентов 4х-полюс-ника переходят к гиперболическим ch g и sh g. Это делается на основе формул [7] и [9а] по соотношению Эйлера:

; [7] е ^g = ; [9a]

; ;

Окончательно уравнения симметричного 4х-полюсника имеют вид:

[10]

Уравнения для несимметричного 4х-полюсника из-за различия Z_C1 и Z_C2 более громоздки, да и пользуются ими реже. Приведём их как бы лишь для справки /Атабеков Г.И., стр.250/:

;

В заключение напомним, что соотношение А D - В C = 1 равнознач-но соотношению ch²g- sh²g = 1.

ПОНЯТИЕ О ЦЕПНЫХ СХЕМАХ или ИСКУССТВЕННЫХ ЛИНИЯХ

Однородными цепными схемами называют каскадное включение нескольких одинаковых симметричных 4х-полюсников. Так предста-вляют при исследованиях длинные линии, гирлянды изоляторов на высоковольтных линиях и т.д.

Поскольку речь идёт об одинаковых, да ещё и симметричных 4х-по-люсниках, расчётные соотношения здесь упрощаются. При согласованной нагрузке, а эти устройства именно так и работают, АВСD-коэф-фициенты и вторичные параметры Z_C и g очень просто выражаются че-рез параметры одного 4х-полюсника:

Z_{C ц.схемы} = Z_{C звена}, g_схемы = п∙а + jn∙b.

Подробнее о цепных схемах можно прочесть в учебнике Зевеке Г.В, ТОЭ, 1989г., стр.150-152.