Розв’язання типових завдань

Методика розв’язання задачі лінійної оптимізації

Лакофарбний завод «Веселка» у зв’язку зі зміною кон’юнктури ринку хоче розробити нову виробничу програму для випуску фарб А та Б, не змінюючи виробництва іншої продукції. Підприємство має місячний цикл виробництва. Виробничі потужності дозволяють випускати додатково 500 т фарби А та Б разом. За розрахунками бухгалтерії прогнозований прибуток від реалізації 1 т фарби А складе 2000 грн., а фарби Б – 2500 грн. За даними відділу маркетингу, укладено договорів на продаж 200 т фарби А на місяць, а фарби Б складно реалізувати більше, ніж 150 т на місяць. Дані про витрачання та запаси сировини для виробництва фарб надані у таблиці 2.3.

Таблиця 2.3

Витрачання та запаси сировини

Сировина	Фарба А, кг	Фарба Б, кг	Місячний запас, т
Сировина 1	50	100	50
Сировина 2	70	80	30
Сировина 3	40	70	25

Розробити проект управлінського рішення відносно обсягів виробництва фарб А та Б за умови максимізації прибутку за допомогою засобу Excel «Поиск решения».

Послідовність розробки та використання математичної моделі:

1. Сформувати рівняння цільової функції та нерівностей обмежень:

Z=2000x₁+2500x₂→max, (2.4)

, (2.5)

x₁≥0, (2.6)

2. Заповнити таблицю з вихідними даними у книзі Exсel (рис. 2.1).

3. Задати формули цільової функції, обмежень, видачі результатів рішення:

Цільова функція: z (D8) =СУММПРОИЗВ($B$4:$C$4;B8:C8)

Обмеження:

Виробниче D11 =СУММПРОИЗВ($B$4:$C$4;B11:C11)

2-ге маркетингове D12 =СУММПРОИЗВ($B$4:$C$4;B12:C12)

Сировина 1 D13 =СУММПРОИЗВ($B$4:$C$4;B13:C13)

Сировина 2 D14 =СУММПРОИЗВ($B$4:$C$4;B14:C14)

Сировина 3 D15 =СУММПРОИЗВ($B$4:$C$4;B15:C15)

Невід’ємність D16 =СУММПРОИЗВ($B$4:$C$4;B16:C16)

1-ше маркетингове D17 =СУММПРОИЗВ($B$4:$C$4;B17:C17)

Рішення:

x1 (B20) =ФИКСИРОВАННЫЙ(B4;2)&«т.»

x2 (C20) =ФИКСИРОВАННЫЙ(C4;2)&«т.»

z (D20) =ФИКСИРОВАННЫЙ(D8)&«грн.»

	A	B	C	D	Е	F
1	Виробничий план для заводу «Веселка»
2	Змінні для розв’язання
3		x1	x2
4		100	100
5
6	Коефіцієнти цільової функції			Значення цільової функції
7		c1	c2	z
8		2000	2500
9
10	Обмеження	Коефіцієнти		Ліва частина	Права частина
11	Виробниче	1	1		≤	500
12	2-ге маркетингове	0	1		≤	150
13	Сировина 1	0,05	0,1		≤	50
14	Сировина 2	0,07	0,08		≤	30
15	Сировина 3	0,04	0,07		≤	25
16	Невід’ємність	0	1		≥	0
17	1-ше маркетингове	1	0		≥	200
18
19		x1	x2	z
20	Рішення

Рис. 2.1. Вихідні дані

4. Зайти в меню Сервис та вибрати пункт Поиск решения (якщо цей пунт не встановлено, то вибрати Сервис – Надстройки – Поиск решения – ОК).

5. У вікні Поиск решения встановити наступні опції:

Установить целевую ячейку: D8

Равной: максимальному значению

Изменяя ячейки: $B$4:$C$4

Ограничения: Добавить: $D$11:$D$15 <= =$F$11:$F$15

$D$16:$D$17 >= =$F$16:$F$17

Параметры: линейная модель, автоматическое масштабирование

Выполнить.

6. В вікні Результаты поиска решения вибрати опцію Сохранить найденное решение та обрати всі види звітів, дати команду ОК.

Отримаємо наступні результати: х₁=257,14 т, х₂=150 т.

Розгляд обмежень:

1. Виробничі потужності використовуються неповною мірою. Є можливість додатково виробляти 92,86 т фарби.

2. Стримуючим фактором є маркетингове обмеження за фарбою Б, але впливати на нього складно.

3. Є резерв сировини 1 у розмірі 22,14 т та сировини 3 у розмірі 4,21 т.

4. Стримуючим фактором є обмеження за сировиною 2. При цьому зміна величини запасу сировини 2 на 1 т приведе до зміни прибутку на 28571,43 грн. (стовпчик «теневая цена»). «Допустимое увеличение» дорівнює 6,5, значить збільшення правої частини до 36,5, то лімітуючими будуть попередні обмеження (виробниче та друге маркетингове). Для визначення прибутку треба виконати «Поиск решения» з новим обмеженням (сировина 2 не повинна перевищувати 36,5 т). Нове рішення: х1=350, х2=150, прибуток = 1075000. Новим лімітуючим обмеженням стало виробниче. Щоб виконати такий план, треба місячні запаси сировини 2 збільшити на 6,5 т, а сировини 1 та 3 можна зменшити відповідно на 17,5 та 0,5 т.

Розгляд цільових коефіцієнтів:У даному прикладі с1 змінюється в межах 1500-2300, а с2 – 2100-3000. «Допустимое увеличение» и «Допустимое уменьшение» коефіцієнтів складають 0-2500 та 2000-безмежність відповідно. Значить виготовляти фарбу Б доцільно, поки її питомий прибуток більше за питомий прибуток фарби А. Перевіримо, яким буде прибуток, якщо с1=2300, а с2=2100. Запускаємо «Поиск решения» з цими параметрами. Отримуємо х1=500, х2=0, прибуток = 1150000 грн.