Закон распределения вероятностей
Х |
-6 |
6 |
4 |
15 |
Р |
0,5 |
0,1 |
0,3 |
0,1 |
Постройте функцию распределения.
Упорядочим Х по возрастанию.
Х |
-6 |
4 |
6 |
15 |
р |
0,5 |
0,3 |
0,1 |
0,1 |
При Х ≤ –6F(x)=0, т.к. событие {X< –6} – событие невозможное
При –6 <X≤ 4F(x)=p1= 0,5, т. к. появилась одна возможность выполнения неравенства {X<x1}.
При 4 <X≤ 6F(x)=p1+ p2 = 0,5 + 0,3 = 0,8
При 6 <X≤ 15F(x)=p1+ p2 + p3 = 0,5 + 0,3 + 0,1 = 0,9
При X> 15F(x)=p1+ p2 + p3 + p4 = 0,5 + 0,3 + 0,1 + 0,1 = 1
9.Формула интегрирования по частям.
10.Найти общее решение
y – 6y + 9y = cos3x
Решение.
yнеодн =yодн + участ
Найдем решение однородного уравнения
y – 6y + 9y=0
Составляем характеристическое уравнение и определяем его корни
2–6+9= 0
найдем его корни
(–3)2= 0; 1,2= 2 – действительные и одинаковые, поэтому общее решение имеет вид:
y = C1e3x + C2хe3x,
где С1 и С2– произвольные постоянные.
Найдем частное решение уравнения.
участ.=Asin3x + Вcos3x
участ =3Acos3x– 3Вsin3x
участ.= –9Asin3x– 9Bcos3x
Подставляем функцииучаст,участ и участ.в исходное уравнение
–9Asin3x – 9Bcos3x– 18Acos3x + 18Вsin3x + 9Asin3x + 9Вcos3x= cos3x
–18Acos3x+18Вsin3x = cos3x
–18A=
1
Тогда искомое частное решение
участ.=
Итак, общее решение исходного уравнения
y = C1e3x + C2хe3x +
Ответ: y = C1e3x + C2хe3x
11. Решить задачу Коши
Решение.
Уравнение с разделяющимися переменными.
Подставим начальное условие
С = 1 + ln7
Ответ:
Билет №6
Найти по определению у (2) если у =
.
у(2)
=
Разложить по степеням х+2 функцию 4х – 3х+16.
4х – 3х+ 16 = 4(х + 2)2 – 16х – 16 – 3х + 16 = 4(х + 2)2 – 19(х + 2) + 28
Найти градиент и матрицу Гессе для функции z = tg(2x-7y)
Вычислим частные производные.
Запишем градиент функции
z
=
или другая форма записи gradz
=
gradz
=
Матрица Гессе:
Найти
Разложение на простые дроби
А(х – 3)х + В(х + 1)х + С(х + 1)(х – 3) = х2 + х – 2
Ах2 – 3Ах+ Вх2 + Вх + Сх2 – 2Сх – 3С= х2 + х – 2
х2: А + В + С = 1
х1: –3А + В – 2С = 1
х0: –2С = –2 С = ;
А + В =
–3А + В
=
–4А = 2
Найти
Исследовать сходимость ……
Для нахождения интервала сходимости данного ряда применим признак Даламбера.
Ряд будет сходится, если
Следовательно, ряд сходится на интервале (–; +).
Ответ: ряд сходится при x(–; +).
Монету бросили 5 раз. Какова вероятность того, что решка выпадет менее3 раз.
Формула
Бернулли
n= 5 k= 0, 1, 2 p=0,5q= 0,5
0,03125
= 0,03125
0,03125
= 0,15625
0,03125
= 0,3125
Р = Р0,5 + Р1,5 + Р2,5 = 0,03125 + 0,15625 + 0,3125 = 0,5
3 лампочки выкрутили из патронов, а затем случайным образом ввернули вновь. Найти среднее число лампочек, вернувшихся на свое место.
Рассмотрим все варианты заново вкрученных лампочек их 3! = 6
1 |
2 |
3 |
ni – кол-во совпадений |
pi– вероят. события |
Возможные варианты |
||||
1 |
2 |
3 |
3 |
1/6 |
1 |
3 |
2 |
1 |
1/6 |
2 |
1 |
3 |
1 |
1/6 |
3 |
1 |
2 |
0 |
1/6 |
2 |
3 |
1 |
0 |
1/6 |
3 |
2 |
1 |
0 |
1/6 |
Среднее число лампочек, вернувшихся на свое место
Теорема Коши.
Если каждая из функций f и g непрерывна на [a, b] и имеет конечную или бесконечную производную на ]a, b[ и если, кроме того, производная g'(x) ≠ 0 на ]a, b[, то (a; b) такое, что справедлива формула
10. Найти общее решение
y+2y + 5y = (2x– 3)e–x
Решение.
yнеодн =yодн + участ
Найдем решение однородного уравнения
y+2y + 5y = (2x– 3)e–x
Составляем характеристическое уравнение и определяем его корни
2+2+5= 0
найдем его корни
Д=4 – 20 = –16; 1= –12i– два комплексных корня, поэтому общее решение имеет вид:
yодн =e–x(C1cos2х + C2sin2х)
где С1 и С2– произвольные постоянные.
Найдем частное решение уравнения.
участ.=(Ax + В)e–x
участ =–(Ax + В)e–x + Ae–x= (–Ax+ А– В)e–x
участ.= –(–Ax+ А–В)e–x–Ae–x= (Аx–2А +В)e–x
Подставляем функцииучаст,участ и участ.в исходное уравнение
(Аx–2А +В)e–x+2(–Ax+ А– В)e–x + 5(Ax + В)e–x = (2x– 3)e–x
Аx–2А +В–2Ax+2A–2В + 5Ax + 5В = 2х – 3
4Ax+ 4В= 2x– 3
Тогда искомое частное решение
участ.=
Итак, общее решение исходного уравнения
y = e2x(C1cosх + C2sinх)+
Ответ: y = e2x(C1cosх + C2sinх)+
11. Решить задачу Коши
Решение.
Уравнение с разделяющимися переменными.
Подставим начальное условие
Ответ: