5. Найти

6. Исследовать сходимость -3х +6х -9х +…..

Для нахождения интервала сходимости данного ряда применим признак Даламбера.

Ряд будет сходится, если

х³< 1

–1<x<1. Следовательно, ряд сходится на интервале (–1; 1), R = 1.

Выясним вопрос о сходимости ряда на концах интервала.

При x = –1 ряд примет вид: = 3+6 + 12+15 + …

ряд расходится, точка x = –1 не принадлежит области сходимости.

При x = 1 ряд примет вид: = 3–6 + 12–15 + …

ряд расходится, точка x = 1 не принадлежит области сходимости.

(ряды расходятся, так как предел общего члена не равен нулю).

Ответ: (–1; 1)

7. Из 10 негритят и 5 чукотских мальчиков выбрали 3 человек и отправили на Северный полюс. Какова вероятность того, что среди них встретятся негритята?

Обозначим событие А – среди выбранных мальчиков встретятся негритята.

Рассмотрим противоположное событие – встретятся негритята (будут только чукотские мальчики).

Воспользуемся классической формулой для вычисления вероятности:

где m – число благоприятных событию А случаев;

n – число всех случаев.

8. Закон распределения вероятностей

Х	40	0,5	-4	2
Р	0,4	?	0,1	0,35

Найти р(0,5) и М(Х).

Найдем р(0,5)

0,4 + р + 0,1 + 0,35 = 1

р + 0,85 = 1

р(0,5) = 0,15

М(х) = 400,4 + 0,50,15 – 40,1 + 20,35 = 16 + 0,075 – 0,4 + 0,7 = 16,375

9.Теорема об умножении вероятностей.

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятностей одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место:

10. Найти общее решение

y – 4y + 4y=sin2x

Решение.

y_неодн =y_одн + у_част

Найдем решение однородного уравнения

y – 4y + 4y = 0

Составляем характеристическое уравнение и определяем его корни

²–4+4= 0

найдем его корни

(–2)²= 0; _1,2= 2 – действительные и одинаковые, поэтому общее решение имеет вид:

y = C₁e^2x + C₂хe^2x,

где С₁ и С₂– произвольные постоянные.

Найдем частное решение уравнения.

у_част.=Asin2x + Вcos2x

у_част =2Acos2x– 2Вsin2x

у_част.= –4Asin2x– 4Bcos2x

Подставляем функцииу_част,у_част и у_част.в исходное уравнение

–4Asin2x – 4Bcos2x– 8Acos2x + 8Вsin2x + 4Asin2x + 4Вcos2x= sin2x

–8Acos2x+ 8Вsin2x = sin2x

8В= 1 В – 1/8

Тогда искомое частное решение

у_част.=

Итак, общее решение исходного уравнения

y = C₁e^2x + C₂хe^2x +

Ответ: y = C₁e^2x + C₂хe^2x +

11 . Решить задачу Коши

Решение.

Уравнение с разделяющимися переменными.

Подставим начальное условие

Ответ:

Билет №4

1. Найти по определению у (5) если у =

у(5) =

2. Разложить по степеням х-3 функцию 4х + 5х + 1.

4х +3х – 4 = 4(х – 3)² + 24х – 36 + 5х – 1 = (х – 3)² + 24(х – 3) +52

3. Найти градиент и матрицу Гессе для функции z=cos(3x-y )+4xy

Вычислим частные производные.

Запишем градиент функции

z = или другая форма записи gradz =

gradz =

Матрица Гессе:

4. Найти

Разложение на простые дроби

А(х + 2)(х – 2) + В(х – 4)(х – 2) + С(х–4)(х + 2) = 4х – 7

Ах² – 4А + Вх² – 6Вх + 8В + Сх² – 2Сх – 8С= 4х – 7

х²: А + В + С = 0 А + В + С = 0

х¹: – 6В – 2С = 4 3В + С = –2 С = –2 – 3В

х⁰: –4А + 8В – 8С = –7 А – 2В + 2С = 1,75 А =1,75 + 2В – 2С =1,75 + 2В+ 4 + 6В=5,75+8В

А + В + С = 0  5,75+8В + В – 2 – 3В = 0

6В = –3,75

5. Найти

6. Исследовать сходимость 1- + - +…..

Для нахождения интервала сходимости данного ряда применим признак Даламбера.

Ряд будет сходится, если

х< 1

–1<x<1. Следовательно, ряд сходится на интервале (–1; 1), R = 1.

Выясним вопрос о сходимости ряда на концах интервала.

При x = –1 ряд примет вид: – ряд расходится (как гармонический ряд), точка x = –1 не принадлежит области сходимости.

При x = 1 ряд примет вид:

Проверим выполнение условий признака Лейбница для знакочередующихся рядов:

1)

2)

Члены данного ряда убывают по абсолютной величине и . Следовательно, по признаку Лейбница, ряд сходится, точка x = 1 принадлежит области сходимости.

Ответ: (–1; 1]

7. Кубик брошен 6 раз. Какова вероятность того, что хотя бы раз выпало не меньше 5?

Обозначим событие А – хотя бы раз выпало не меньше 5, т.е. выпадало 5 или 6

р = ; q =

Рассмотрим противоположное событие – выпадало меньше 5

Р( ) =

 0,912

8. Найти среднюю сумму очков, выпавших на 3 кубиках.

Количество очков, которое выпадет на кубике при каждом броске, является случайной величиной и может принимать любые натуральные значения от 1 до 6.

Средняя сумма очков, выпавших на 3 кубиках: 33,5 = 10,5

9. Формула полной вероятности.

Формула полной вероятности позволяет вычислить вероятность интересующего события через условные вероятности этого события в предположении неких гипотез, а также вероятностей этих гипотез.

Р(А) =

10. Найти общее решение

y – 4y + 5y = (2x– 3)e^–x

Решение.

y_неодн =y_одн + у_част

Найдем решение однородного уравнения

y – 4y + 5y = 0

Составляем характеристическое уравнение и определяем его корни

²–4+5= 0

найдем его корни

Д=16 – 20 = –4; ₁= 2i– два комплексных корня, поэтому общее решение имеет вид:

y_одн =e^2x(C₁cosх + C₂sinх)

где С₁ и С₂– произвольные постоянные.

Найдем частное решение уравнения.

у_част.=(Ax + В)e^–x

у_част =–(Ax + В)e^–x + Ae^–x= (–Ax+ А– В)e^–x

у_част.= –(–Ax+ А–В)e^–x–Ae^–x= (Аx–2А +В)e^–x

Подставляем функцииу_част,у_част и у_част.в исходное уравнение

(Аx–2А +В)e^–x– 4(–Ax+ А– В)e^–x + 5(Ax + В)e^–x = (2x– 3)e^–x

Аx–2А +В+ 4Ax– 4A + 4В + 5Ax + 5В = 2х – 3

10Ax–6A+ 10В= 2x– 3

Тогда искомое частное решение

у_част.=

Итак, общее решение исходного уравнения

y = e^2x(C₁cosх + C₂sinх)+

Ответ: y = e^2x(C₁cosх + C₂sinх)+

11. Решить задачу Коши

Решение.

Уравнение с разделяющимися переменными.

Подставим начальное условие

Ответ:

Билет №5

1. Найти по определению у (-3) если у =

у(–3) =

2. Разложить по степеням х+4 функцию 4х –х + 6.

4х – х+ 6 = 4(х + 4)² – 32х – 64 – х + 6 = 4(х + 4)² – 33(х + 4) + 74

3. Найти градиент и матрицу Гессе для функции z = sin(3x-y )+xlny

Вычислим частные производные.

Запишем градиент функции

z = или другая форма записи gradz =

gradz =

Матрица Гессе:

4. Найти

Разложение на простые дроби

А(х + 4)(х – 5) + В(х – 1)(х – 5) + С(х–1)(х + 4) = х² + 3х

Ах² – Ах– 20А + Вх² – 6Вх + 5В + Сх² + 3Сх – 4С= х² + 3х

х²: А + В + С = 1 С = 1 – А – В

х¹: –А – 6В + 3С = 3 А = –6В + 3С – 3

х⁰: –20А + 5В – 4С = 0

А = –6В + 3 – 3В – 3А – 3

С = 1 + – В = 1+

–20 + 5В – 4 – 5В = 0

Получены следующие коэффициенты:

5. Найти

6. Исследовать сходимость 1- + - +…..

Для нахождения интервала сходимости данного ряда применим признак Даламбера.

Ряд будет сходится, если

х< 1

–1<x<1. Следовательно, ряд сходится на интервале (–1; 1), R = 1.

Выясним вопрос о сходимости ряда на концах интервала.

При x = –1 ряд примет вид: – ряд расходится (как гармонический ряд), точка x = –1 не принадлежит области сходимости.

При x = 1 ряд примет вид:

Проверим выполнение условий признака Лейбница для знакочередующихся рядов:

1)

2)

Члены данного ряда убывают по абсолютной величине и . Следовательно, по признаку Лейбница, ряд сходится, точка x = 1 принадлежит области сходимости.

Ответ: (–1; 1]

7. В группе 3 студента могут ответить на любой вопрос, а еще 12 только на один вопрос из трех. Студент ответил на вопрос. Какова вероятность того, что он знал все вопросы?

Воспользуемся классической формулой для вычисления вероятности:

где m – число благоприятных событию А случаев;

n – число всех случаев.

m= 3

n= 3 + 12 = 15

= 0,2