5.4. Расчёт надёжности, основанный на использовании

параллельно-последовательных структур

Расчёт надёжности по структурным схемам надёжности ведётся

последовательно, начиная от расчёта элементарных узлов структуры,

содержащих только последовательно или параллельно соединённые

звенья, к её более сложным узлам. Поэтому рассмотрим правила преоб-

разования структурных схем надёжности, содержащих только парал-

лельно соединённые звенья или последовательно соединённые звенья.

5.2.1. Расчётные формулы для элементов,

соединённых параллельно в структурной схеме надёжности

Пусть структурная схема надёжности системы имеет вид, пред-

ставленный на рис. 5.9, а.

Пусть а, в, с – события, определяющие работоспособное состояние

элементов системы – А, В, С.

A

B

I O

I

A       ^{B      C}

O

C

а б

Рис. 5.9. Структурные схемы надёжности:

а – параллельное соединение звеньев; б – последовательное соединение звеньев

Условие работоспособности системы можно сформулировать сле-

дующим образом:

Система работоспособна, если работоспособны А или В или С,

или работоспособны А и В, или А и С, или В и С, или А и В и С.

Этому условию соответствует логическая функция

^Fл ^{ a  b  c  a  b  a  c  b  c  a  b  c . (5.1)}

Проводя минимизацию, упрощение и арифметизацию этого выражения

на основе правил булевой алгебры:

( a  b  a  b  a  b, a  b  a  b, a  1  a ),

получим

42

^Fa ^{ a  b  c  ( ab  ac  bc )  abc . (5.2)}

Заменяя события в выражении (5.2) вероятностями этих событий на

основе свойства аддитивности вероятностей, получим

b c b c b c b c

^P ^ Pa ^{ P  P  P}a ^{ P  P}a ^{ P  P  P   P}a ^{ P  P}

(5.3)

Полученное правило для определения суммарной вероятности без-

отказной работы для структурной схемы с параллельно соединёнными

звеньями трудно распространить на случай, когда число соединённых

элементов больше трёх. Поэтому, для преобразования рассматриваемых

структурных схем чаще пользуются правилом, получаемым при рас-

смотрении инверсных событий, определяющих не работоспособное со-

стояние системы или устройства.

Система не работоспособна, если не работоспособны А и В и С.

В этом случае логическая функция не работоспособного состояния

системы будет иметь вид:

F л  a  b  c . (5.4)

Проводя минимизацию, упрощение и арифметизацию этого выра-

жения на основе правил булевой алгебры, а затем, заменяя события в

полученном выражении вероятностями этих событий, получим:

^{Qt   1  P}a ^{t  1  P}b ^{t  1  P}c ^{t    1  P}i ^{t }

n

i1

(5.5)

Окончательно, вероятность безотказной работы n параллельно со-

единённых элементов будет равна:

^P ^{t   1  Q} ^{t   1   1  P}i ^{t }

n

i1

(5.6)

5.4.2. Расчётные формулы для элементов,

соединённых последовательно в структурной схеме надёжности

Пусть структурная схема надёжности системы имеет вид, пред-

ставленный на рис. 5.9, б.

а, в, с – события, определяющие работоспособное состояние элементов

системы – А, В, С.

Условие работоспособности системы можно сформулировать сле-

дующим образом:

Система работоспособна, если работоспособны А и В и С.

Этому условию соответствует логическая функция

^Fл ^{ a  b  c}

43

(5.7)

Проводя минимизацию, упрощение и арифметизацию этого выра-

жения на основе правил булевой алгебры, получим

^Fa ^ abc.

(5.8)

Заменяя события в выражении (5.8) вероятностями этих событий,

получим

^{P t   Pa b c t  }  ^{Pi t .}

^t  ^ P ^t  ^ P

n

i1

(5.9)

В частности, при основном соединении n звеньев с пуассоновскими

^{потоками отказов с интенсивностями} i ^{, i  1, n, будем иметь}

^{P   }  ^{Pi   }  ^e

   ^it

^{, откуда} ^   ^i .

n n

t t

i1 i1



n

i1

n

i1