Решение типового варианта

Пример 1. Вычислить определители:

а) ; б) .

Решение:

Определитель равен сумме произведений элементов какой−либо строки или столбца на их алгебраические дополнения: . Алгебраическим дополнением некоторого элемента определителя называется минор этого элемента, умноженный на (−1)^S, где – сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент. Минором некоторого элемента определителя называется определитель, полученный из исходного вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.

Выберем в рассматриваемом определителе любую строку. Например, первую строку. Тогда определитель может быть вычислен по формуле

г де − минор элемента , полученный вычеркиванием из исходного определителя первой строки и первого столбца, на пересечении которых находится элемент : ,

− минор элемента , полученный вычеркиванием из исходного определителя первой строки и второго столбца, на пересечении которых находится элемент : ,

− минор элемента , полученный вычеркиванием из исходного определителя первой строки и третьего столбца, на пересечении которых находится элемент : .

Выполним задание для первого определителя:

М₂₂ = = (−1)  (−1) – 0  0 = 1 – 0 = 1,

А₂₃ = (−1)²⁺³  М₂₃ = (−1)  ((−1)5 − 20) = 5.

Вычислим определитель, разложив его по элементам первой строки: .

б) Выполним задание для второго определителя, раскрывая все определители по элементам первой строки:

.

Полученные определители третьего порядка сведем к определителям второго порядка, еще раз разложив каждый из них по первой строке.

Ответ: а) , ; б) , .

Пример 2. Даны матрицы и . Вычислить и , если они существуют.:

а) ;

Решение:

0. 

1. определим размер матрицы, которую получим в результате умножения: первая матрица имеет размер , вторая − . Берем количество строк у первой матрицы, а количество столбцов – у второй. Таким образом, получаем размер .

2. Для того, чтобы найти элемент необходимо − ю строку первой матрицы умножить скалярно на −й столбец второй матрицы

Ответ: ; .

Пример 3. Определить, имеет ли данная матрица обратную, найти обратную матрицу к данной .

Решение:

Обратную матрицу к данной матрице будем находить по следующему плану:

1. Вычислим определитель матрицы

2. Вычислим алгебраические дополнения для всех элементов матрицы по формуле

,где минор элемента матрицы .

3. Запишем матрицу , элементами которой являются соответствующие алгебраические дополнения

4. Найдем транспонированную матрицу

5. Найдем обратную матрицу по формуле

1. Вычислим определитель матрицы по формуле

2. Вычислим алгебраические дополнения для всех элементов матрицы

(для вычисления минора вычеркиваем в матрице первую строку и первый столбец)

(для вычисления минора вычеркиваем в матрице первую строку и второй столбец)

(для вычисления минора вычеркиваем в матрице первую строку и третий столбец)

(для вычисления минора вычеркиваем в матрице вторую строку и первый столбец)

(для вычисления минора вычеркиваем в матрице вторую строку и второй столбец)

(для вычисления минора вычеркиваем в матрице вторую строку и третий столбец)

(для вычисления минора вычеркиваем в матрице третью строку и первый столбец)

(для вычисления минора вычеркиваем в матрице третью строку и второй столбец)

(для вычисления минора вычеркиваем в матрице третью строку и третий столбец)

3. Запишем матрицу , элементами которой являются найденные алгебраические дополнения

4. Найдем транспонированную матрицу (строки становятся столбцами, а столбцы – строками с сохранением порядка)

5. Найдем обратную матрицу

Произведем проверку. Для этого найдем произведения и . Если окажется, что они равны , то матрица найдена верно.

Имеем

0. определим размер матрицы, которую получим в результате умножения: первая матрица имеет размер , вторая − . Берем количество строк у первой матрицы, а количество столбцов – у второй. Таким образом, получаем размер .

1. Для того, чтобы найти элемент необходимо − ю строку первой матрицы умножить скалярно на −й столбец второй матрицы

2. .

3. аналогично находим произведение :

Ответ:

Пример 4. Даны координаты вершин пирамиды ABCD: A(10;6;6), B(-2;8;2), C(6;8;9), D(7;10;3).

Найти:

1. Длину ребра АВ;

2. Угол между ребрами АВ и АD;

3. Уравнение прямой АВ;

4. Уравнение плоскости АВС;

Сделать чертеж.

Решение:

1) Если ребро АВ обозначить за вектор , то длина ребра - это длина вектора. Находим координаты вектора :

=(-2-10;8-6;2-6)=(-12;2;-4).

Если =(х;у:z), то его длина .

Следовательно,

.

2) Угол между ребрами АВ и АD – это угол между векторами и . Находим координаты вектора .

=(7-10;10-6;3-6)=(-3;4;-3).

Из пункта 1) нам известны координаты вектора =(-12;2;-4). Угол между двумя векторами находится по формуле:

.

Если векторы и имеют координаты =(х₁;у₁:z₁), (х₂;у₂:z₂) соответственно, то эта формула перепишется в виде:

.

Следовательно, получаем

Итак, .

3) Уравнение прямой, проходящей через две точки М₁(х₁;у₁;z₁) и М₂(х₂;у₂;z₂) имеет вид:

или равносильное ему уравнение:

,

где =(l,m,n) – координаты направляющего вектора прямой М₁М₂.

Направляющий вектор прямой – это вектор, параллельный прямой. В нашем случае прямая проходит через точки А(10;6;6) и В(-2;8;2).Следовательно, уравнение прямой АВ:

.

Итак, каноническое уравнение прямой АВ:

_{где направляющий вектор}

_{4) Уравнение плоскости по трем точкам находится по формуле:}

, (*)

где А(х₁;у₁;z₁); В (х₂;у₂;z₂); С(х₃;у₃;z₃) – точки, через которые проходит плоскость. Подставляя координаты точек А, В, С в формулу (*), получим:

.

Считаем определитель, разложив его по первой строке.

D=а₁₁А₁₁+а₁₂А₁₂+а₁₃А₁₃,

где - алгебраические дополнения элементов , а М_{i j} – минор элемента . Минором элемента матрицы называется определитель, получаемый (вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых он расположен) из данного. Следовательно,

.

Итак, уравнение плоскости АВС:

.

Пример 5. Дана система линейных уравнений:

доказать ее совместность и решить тремя способами: