8. Виды отношений

Наиболее часто встречаются такие виды отношений:

• эквивалентность

• частичный (нестрогий) порядок

• строгий порядок

Эквивалентность ()

Эквивалентностью называется отношение , обладающее свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности.

Приклади відношень еквівалентності:

відношення рівності на будь яких множинах,

відношення паралельності на множині прямих ліній на площині,

відношення подібності на множині трикутників,

відношення „мати однаковий залишок при діленні на 3 на множині натуральних чисел” та таке інше.

Як побачити, що це відношення екві­валентності? Розглянемо відношення на множині паралельних прямих. Кожна пряма лінія паралельна сама собі – це рефлексивність. Якщо пряма лінія АВ паралельна прямій ВС, то пряма ВС теж паралельна прямій АВ – це симетричність у відношенні. Якщо пряма АВ паралельна прямій ВС, а пряма ВС паралельна прямій DE, то пряма АВ паралельна прямій DE – це транзитивність! Вимоги до відношення еквівалентності виконано.

Пример. Отношение - «быть в равном звании», заданное на множестве военнослужащих , где - майор, - лейтенанты, - сержанты, является эквивалентностью.

Граф

Это отношение рефлексивно, симметрично, и транзитивно, следовательно - это эквивалентность.

Отношение-эквивалентность разбивает множество , на котором оно задано, на непересекающиеся подмножества, которые называются классами эквивалентности.

Эквивалентность «быть в равном звании» осуществляет разбиение множества военнослужащих на три класса эквивалентности: - подмножество майоров, - подмножество лейтенантов, - подмножество сержантов, причем .

Частичный порядок (, )

Частичным порядком называется отношение , обладающее свойствами рефлексивности, антисимметричности и транзитивности.

Пример. Отношение - «меньше или равно», заданное на множестве является частичным порядком.

Линейным частичным порядком называется такой частичный порядок, при котором для каждой пары элементов из множества выполняются условия или .

Пример. Отношение - «быть делителем», заданное на множестве является линейным частичным порядком. Это же отношение, но заданное на множестве - частичным порядком является, но не относится к линейному порядку, так как между некоторыми элементами, например 5 и 6, не выполняется ни условие , ни условие .

Графы

Строгий порядок ( <, > )

Строгим порядком называется отношение , обладающее свойствами антирефлексивности, антисимметричности и транзитивности.

Пример. Отношение - «меньше», заданное на множестве является строгим порядком.

Общим для отношений порядка (строгого и частичного) является обладание свойствами антисимметричности и транзитивности.

Відношення домінування

Властивості відношення, антирефлексивність, несиметричність. Транзитивності немає.

Упорядоченные множества

Множество с заданным на нем частичным порядком называется частично упорядоченным. Говорят также, что множество частично упорядочено отношением .

Пример 1. Отношение - «быть делителем», заданное на множестве является частичным порядком (рефлексивно, антисимметрично, транзитивно). Само множество , на котором задано отношение частичного порядка «быть делителем», называется частично упорядоченным.

Множество с заданным на нем линейным порядком называется линейно упорядоченным.

Множество в примере 1 не является линейно упорядоченным, так как существуют пары элементов, например 5 и 6, не связанные отношением ( и ).

Пример 2. Отношение - «быть делителем», заданное на множестве является линейным частичным порядком, так как для любых двух элементов выполняется либо условие , либо условие . Таким образом, множество линейно упорядочено отношением .